正项级数收敛性

时间:2023-05-01 02:23:43 资料 我要投稿
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正项级数收敛性

正项级数收敛性

真正反映思维过程的文章,比八股式论文 要和谐可亲得多,而且对思维训练更有帮 助,可惜,这种文章只能藏在文库中。 ----作者感言

1

?ab

n?2nlnn

1.a?1发散 2.a?1收敛 3.a?1,b?1发散 4.a?1,b?1收敛

?

lim[nln

n??

an

?1]lnn?g an?1

y?(nx?1)lnn

1yx??(?1)

nlnn

?glnlnn?lnn1nlngn

1?g??1?g????

?1?lna?lna??1nn?1????

n?lnnn?lnn??e

lnaN?

?

?1???n?

?lnn?1g??

?an?1?e

lnaN?

??1???n?

?lnn?

1g??

ee

?

??1???n?lnn??

1g??

?

?bn

现在开始讨论正项级数的收敛性,上面写得很乱的东西,没有清掉它,因为它是问题的核心,

记录着思维的真实,保持原样挺美的。

?a

n?1

?

n

(an?0)被称为正项级数,这个定义有点狭隘,因为级数的收敛性不受去掉或增加

有限项的影响,只要从某项开始,后面全部项都是an?0,就足够看成正项级数了。数列an

写成函数形式an?f(n)可以拓展解决问题的视野,比如

?f(n)的收敛性和?

n?1

?

??

f(x)dx的

a

收敛性,有着极为密切的关系,假定f(x)?0很多时候,收敛性是相同的,比如单调的时候。不单调也不怕,因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方,如果只有有限个极值点,在右边足够远的区间里,函数必然单调,而这足够肯定,两者收敛性相同。只要有限个极值点,很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点,也不是没有作为,只要存在经过极少值点的函数,经过极大值点的函数,且这两个函数只有有限个极值点,对这两个函数进行类似讨论,也能解决绝大部分问题。当然,如果这两个函数无论走多远,都相距很远,能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心,初等函数中,只要不是周期函数,在足够远的区间里,都可以当作是单调的,也就是说,上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数,处理手段比级数灵活,借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性,还非得借助广义积分不可。比如p-级数

1

,其实就是通项为幂函数的级数,其收敛性完全清楚,另一个完?p

n?1n

?

全清楚的级数是等比级数

?a

n?1

?

n

,其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。

后面演绎的常见判敛方法,都与这两者有关。比如,常见的比值盼敛,根值判敛,本质上是

用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快,能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的,由于p-级数收敛或发散比等比级数要慢,因而可判的级数范围要广很多。有没有比p-级数还要迟钝的级数?当然有,如

1

,高斯判敛就是以这个级数??

nlnnn?1

?

作参照的。不过,无论哪种极限判别,都有判据为1时无所作为的遗憾。

正项级数的方便之处在于,级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性,准确说,是否有上界,因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因,若an?bn,则由bn的部分和有上界,必可得到an的部分和有上界,故收敛是小看大,大的收敛,小的一定收敛。这个命题的等价命题是:发散大看小,小的发散,大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列,从而得出收敛性判定,很基础,但不方便,因为不等式的放缩不是件容易的事情。

用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数,但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性,而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。

lim

ana?l,(l?0)根据极限定义,有???0,?N,?n?N:|n?l|??

n??bbnn

即???0,?N,?n?N:(l??)bn?an?(l??)bn

如果l?0,由于??0的任意性,选取?使得l??为正没有任何问题。若

?b

n?1

?

n

发散,

(l??)bn?an?(l??)bn的左边不等式说明?an,若?bn收敛,其右边不等式则说明

n?1

n?1

??

?a

n?1

?

n

收敛。这个两边夹不等式,确保

?a

n?1

?

n

?b

n?1

?

n

收敛性相同。当l?0,这个两边夹不

等式的左边失灵了,因为所有项非正,不过右边不等式仍然可用,即可以由

?b

n?1

?

n

收敛判断

?a

n?1

?

n

收敛,但无法由

?b

n?1

?

n

发散判断

?a

n?1

?

n

发散。

这个极限比较判敛,需要知道其中一个的收敛性,当l?0时,可以肯定另一个有同样的收敛性,但l?0时,只可由

?b

n?1

?

n

收敛判断

?a

n?1

?

n

收敛,或者由

?a

n?1

?

n

发散判断

?b

n?1

?

n

发散。

l???和l?0刚好颠倒。

有时候l不存在,也不是??,只要lim

an

?l存在,这相当于

n??bn

???0,?N,?n?N:lbn?an?(l??)bn 故lim

ana

?l与limn?l判定方法完全一样,但前者有更好的适应性。

n??bn??bnn

这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便,如何找那个事先知道的级数?

能否通过数列自身的信息得出判定方法?最自然的想法就是前后两项相比,会有什么消息?还是用极限方法:lim

an?1

?l,由极限定义,得

n??an

an?1

?l|?? an

???0,?N,?n?N:|

变成 ???0,?N,?n?N:(l??)an?an?1?(l??)an 这不会提供任何有效信息,因为任何一边都是未知的。 由极限定义得到???0,?N,?n?N:l???

an?1

?l?? an

先假设l?0,适当选取?可保l???0,不等式取对数: ln(l??)?lnan?1?lnan?ln(l??) 再取和:

n?N?1

?ln(l??)??(lna

n?N?1

mm

n?1

?lnan)?

n?N?1

?ln(l??)

m

即 (m?n)ln(l??)?lnam?1?lnaN?1?(m?n)ln(l??) 故 (m?n)ln(l??)?lnaN?1?lnam?1?(m?n)ln(l??)?lnaN?1 取指数: aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n)

当m变化时,上面不等式两端都是等比数列,其级数的收敛性完全由公比确定,am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由?的任意性,若0?l?1,则可以确保0?l??,l???1。若l?1,则可以确保l??,l???1。故根据0?l?1和l?1,可分别得出散。当l?1时,这个方法失效,无从给出判定。当l?0时,不等式 aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n) 右半部分还是可用的,而这足够了,选定l?????1,可以确定

?a

n?1

?

n

收敛和发

?a

n?1

?

n

收敛。

??

an?1

于是有 lim?l,若0?l?1,?an收敛,若l?1,?an发散。l?1,不确定。

n??an?1n?1n

在这里lim

an?1a

?l可以替换成n?1?l,结论一样。不过适用性更广。知道这个l的实

n??an??ann

质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛

性,能判的范围很有局限性,比如l?1的时候,就不灵了。

根值法?l和比值法虽然计算上有点区别,但实质仍然是以等比级数作标准判断收

n敛性,因而结论完全一样,不过根据不同表达式采用不同判别法,在计算上会有各自的特点。 当lim

an?1a

?1时,咋办?一般说来,想比不如相减方便,故limn?1?1可等价写成

n??an??ann

an?1aa

?0,为了后面表述上的一致性,我们更主要用limlnn?0表示limn?1?1。

n??n??anan?1an

limln

n??

这样提问,也许能帮我们引向问题的解决:

我们需要什么样的一个函数?(x,n),使得lim?(ln

n??

an

,n)?l,而根据l的范围,便可给an?1

?an的收敛性判定?还是从lim?(ln

n?1

n??

?

an

,n)?l本身寻找答案,其极限定义为 an?1

an

,n)?l|?? an?1

an

,n)?l?? an?1

???0,?N,?n?N:|?(ln

即 ???0,?N,?n?N:l????(ln

求解?(x,n)的反函数,我们假设它仍能维持不等式的两边夹,于是 ?(l??,n)?ln

an

??(l??,n) an?1

即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和:

n?N?1m

?

m

?(l??,n)?

n?N?1

m

?

m

(lnan?lnan?1)?

n?N?1

?

m

?(l??,n)

n?N?1

m

?

?(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?

n?N?1

m

?

?(l??,n)

lnaN?1?

m

n?N?1

m

?

?(l??,n)?lnam?1?lnaN?1?

lnaN?1?

n?N?1

?

?(l??,n)

e

?

lnaN?1?

n?N?1

?

m

?(l??,n)

?am?1?e

m

n?N?1

??(l??,n)

显然,

?a

n?1

n

的收敛性由e

lnaN?1?

n?N?1

?

?(l??,n)

,e

lnaN?1?

n?N?1

??(l??,n)

的级数收敛性确定。讨论收敛性,

m

?

常数lnaN?1可以不作考虑,于是,只要讨论e

n?N?1

?

m

?(l??,n)?

,e

n?N?1

??(l??,n)

的级数收敛性即可。

这两个级数只是l??,l??,我们暂时抹掉这种差异,用l代替这两者,于是,我们关注

?

e

n?N?1

??(l,n)

m

究竟是什么?可以充当级数收敛性的判定标准?

?

目前我们只能用等比级数作标准,能用p-级数

1

吗?也就是 ?p

n?1n

?

e

n?N?1

??(l,n)

m

m

?

1

(为了左右一致,将p换成l,n换成m) lm

1

?e?llnm lm

?

即 e

n?N?1

??(l,n)

?

于是

n?N?1

??(l,n)?llnm

m

考虑到级数和广义积分收敛性相同,我们更愿意假设

?

m

N?1

?(l,n)dn?llnm

l m

对m求导,得到 ?(l,m)?于是

al??l??

?lnn?

nan?1n

an

?l?? an?1

即 ???nln

|nln

an

?l|?? an?1

?

anan1

故lim?(ln,n)?l可选为limnln?l,l为p-级数?p的p值,l?1,l??都n??n??an?1an?1n?1n

?

可保持大于1,l?1,l??同样可以保持和l同样的范围,故这两种情况,

?a

n?1

n

的收敛性

和p-级数

1

的收敛性判定完全相同,可l?1时候,l??肯定无法保持为1。故 ?pnn?1

?

??an

limnln?l,当l?1时,?an收敛,当l?1时,?an发散,l?1,不确定。 n??an?1n?1n?1

在limln

n??

anaaa

?0的情况下,lnn?n?1,故limnlnn?l可换成

n??an?1an?1an?1an?1

an

?1)?l an?1

limn(

n??

除了用p-级数

1

作标准,还可以用别的吗? ?p

n?1n

?

可以,柯西选择了级数

?nln

n?1

?

1

l

n

m

?

即 e

n?N?1

??(l,n)

?

1

?e?llnlnm?lnm l

mlnm

于是

n?N?1

??(l,n)?llnlnm?lnm

m

考虑到级数和广义积分收敛性相同,我们更愿意假设

?

m

N?1

?(l,n)dn?llnlnm?lnm

l1

?

mlnmm

对m求导,得到 ?(l,m)?于是

(

al??1l??1

?)?lnn?(?) nlnnnan?1nlnnn

an

)lnn?l?? an?1

即 ???(nln

|(nln

an

)lnn?l|?? an?1

?

anan1

故lim?(ln其中l为?的参数,l?1,,n)?l可选为lim(nln?1)lnn?l,ln??n??an?1an?1n?1nlnn

?

l??都可保持大于1,l?1,l??同样可以保持和l同样的范围,故这两种情况,?an的

n?1

收敛性和级数

1

的收敛性判定完全吻合,可l?1时候,l??肯定无法保持为1。 ?l

nlnnn?1

?

??

an

lim(nln?1)lnn?l,当l?1时,?an收敛,当l?1时,?an发散。 n??an?1n?1n?1

在limln

n??

anaaa

?0的情况下,lnn?n?1,故lim(nlnn?1)lnn?l可换成

n??an?1an?1an?1an?1

an

?1)?1)lnn?l an?1

lim(n(

n??

这是因为 lim(nln

n??

an

?1)lnn?l等价于 an?1

a

(nln?1)nln?l?o

an?1ln

(1)

anl11???o()an?1nlnnnnlnn

ln

ana

?n?1an?1an?1

anl11?1???o() an?1nlnnnnlnn(n(

an

?1)?1)lnn?l?o(1)an?1

an

?1)?1)lnn?l an?1

lim(n(

n??

对于最初知道的比值判敛法,其实也可以按照上面的方式寻找到,即用等比级数准。

?

?l

n?1

?

n

作标

e于是

n?N?1

??(l,n)

m

m

?lm?emlnl

n?N?1

??(l,n)??mlnl

考虑到级数和广义积分收敛性相同,我们更愿意假设

?

m

N?1

?(l,n)dn??mlnl

对m求导,得到 ?(l,m)??lnl 于是

?ln(l??)?ln

an

??ln(l??) an?1

即 ???

an?1

?l?? an

|

an

?l|?? an?1

?

anan

故lim?(ln,n)?l可选为lim?l,其中l为?ln的公比,0?l?1,l??都可保n??n??aan?1n?1n?1

?

持大于1,l?1,l??同样可以保持和l同样的范围,故这两种情况,

?a

n?1

n

的收敛性和级

n

l?的收敛性判定完全相同,可l?1时候,l??肯定无法保持为1。 n?1

?

??an?1lim?l,当0?l?1时,?an收敛,当l?1时,?an发散,l?1,不确定。 n??an?1n?1n

根值判敛法虽然也是以等比级数作标准,但似乎不能按上述模式推导出来。

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