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正项级数收敛性
正项级数收敛性
真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。 ----作者感言
1
?ab
n?2nlnn
1．a?1发散 2．a?1收敛 3．a?1,b?1发散 4．a?1,b?1收敛
?
lim[nln
n??
an
?1]lnn?g an?1
y?(nx?1)lnn
1yx??(?1)
nlnn
?glnlnn?lnn1nlngn
1?g??1?g????
?1?lna?lna??1nn?1????
n?lnnn?lnn??e
lnaN?
?
?1???n?
?lnn?1g??
?an?1?e
lnaN?
??1???n?
?lnn?
1g??
ee
?
??1???n?lnn??
1g??
?
?bn
现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，
记录着思维的真实，保持原样挺美的。
?a
n?1
?
n
（an?0）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加
有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是an?0，就足够看成正项级数了。数列an
写成函数形式an?f(n)可以拓展解决问题的视野，比如
?f(n)的收敛性和?
n?1
?
??
f(x)dx的
a
收敛性，有着极为密切的关系，假定f(x)?0很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。比如p-级数
1
，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完?p
n?1n
?
全清楚的级数是等比级数
?a
n?1
?
n
，其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。
后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是
用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的，由于p-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。有没有比p-级数还要迟钝的级数？当然有，如
1
，高斯判敛就是以这个级数??
nlnnn?1
?
作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。
正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若an?bn，则由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。
用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。
lim
ana?l，（l?0）根据极限定义，有???0,?N,?n?N:|n?l|??
n??bbnn
即???0,?N,?n?N:(l??)bn?an?(l??)bn
如果l?0，由于??0的任意性，选取?使得l??为正没有任何问题。若
?b
n?1
?
n
发散，
(l??)bn?an?(l??)bn的左边不等式说明?an，若?bn收敛，其右边不等式则说明
n?1
n?1
??
?a
n?1
?
n
收敛。这个两边夹不等式，确保
?a
n?1
?
n
，
?b
n?1
?
n
收敛性相同。当l?0，这个两边夹不
等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由
?b
n?1
?
n
收敛判断
?a
n?1
?
n
收敛，但无法由
?b
n?1
?
n
发散判断
?a
n?1
?
n
发散。
这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当l?0时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但l?0时，只可由
?b
n?1
?
n
收敛判断
?a
n?1
?
n
收敛，或者由
?a
n?1
?
n
发散判断
?b
n?1
?
n
发散。
l???和l?0刚好颠倒。
有时候l不存在，也不是??，只要lim
an
?l存在，这相当于
n??bn
???0,?N,?n?N:lbn?an?(l??)bn 故lim
ana
?l与limn?l判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。
n??bn??bnn
这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？
能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：lim
an?1
?l，由极限定义，得
n??an
an?1
?l|?? an
???0,?N,?n?N:|
变成 ???0,?N,?n?N:(l??)an?an?1?(l??)an 这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。 由极限定义得到???0,?N,?n?N:l???
an?1
?l?? an
先假设l?0，适当选取?可保l???0，不等式取对数： ln(l??)?lnan?1?lnan?ln(l??) 再取和：
n?N?1
?ln(l??)??(lna
n?N?1
mm
n?1
?lnan)?
n?N?1
?ln(l??)
m
即 (m?n)ln(l??)?lnam?1?lnaN?1?(m?n)ln(l??) 故 (m?n)ln(l??)?lnaN?1?lnam?1?(m?n)ln(l??)?lnaN?1 取指数： aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n)
当m变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由?的任意性，若0?l?1，则可以确保0?l??,l???1。若l?1，则可以确保l??,l???1。故根据0?l?1和l?1，可分别得出散。当l?1时，这个方法失效，无从给出判定。当l?0时，不等式 aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n) 右半部分还是可用的，而这足够了，选定l?????1，可以确定
?a
n?1
?
n
收敛和发
?a
n?1
?
n
收敛。
??
an?1
于是有 lim?l，若0?l?1，?an收敛，若l?1，?an发散。l?1，不确定。
n??an?1n?1n
在这里lim
an?1a
?l可以替换成n?1?l，结论一样。不过适用性更广。知道这个l的实
n??an??ann
质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛
性，能判的范围很有局限性，比如l?1的时候，就不灵了。
根值法?l和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收
n敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。 当lim
an?1a
?1时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故limn?1?1可等价写成
n??an??ann
an?1aa
?0，为了后面表述上的一致性，我们更主要用limlnn?0表示limn?1?1。
n??n??anan?1an
limln
n??
这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：
我们需要什么样的一个函数?(x,n)，使得lim?(ln
n??
an
,n)?l，而根据l的范围，便可给an?1
出
?an的收敛性判定？还是从lim?(ln
n?1
n??
?
an
,n)?l本身寻找答案，其极限定义为 an?1
an
,n)?l|?? an?1
an
,n)?l?? an?1
???0,?N,?n?N:|?(ln
即 ???0,?N,?n?N:l????(ln
求解?(x,n)的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 ?(l??,n)?ln
an
??(l??,n) an?1
即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和：
n?N?1m
?
m
?(l??,n)?
n?N?1
m
?
m
(lnan?lnan?1)?
n?N?1
?
m
?(l??,n)
即
n?N?1
m
?
?(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?
n?N?1
m
?
?(l??,n)
lnaN?1?
m
n?N?1
m
?
?(l??,n)?lnam?1?lnaN?1?
lnaN?1?
n?N?1
?
?(l??,n)
e
?
lnaN?1?
n?N?1
?
m
?(l??,n)
?am?1?e
m
n?N?1
??(l??,n)
显然，
?a
n?1
n
的收敛性由e
lnaN?1?
n?N?1
?
?(l??,n)
,e
lnaN?1?
n?N?1
??(l??,n)
的级数收敛性确定。讨论收敛性，
m
?
常数lnaN?1可以不作考虑，于是，只要讨论e
n?N?1
?
m
?(l??,n)?
,e
n?N?1
??(l??,n)
的级数收敛性即可。
这两个级数只是l??,l??，我们暂时抹掉这种差异，用l代替这两者，于是，我们关注
?
e
n?N?1
??(l,n)
m
究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准？
?
目前我们只能用等比级数作标准，能用p-级数
1
吗？也就是 ?p
n?1n
?
e
n?N?1
??(l,n)
m
m
?
1
（为了左右一致，将p换成l，n换成m） lm
1
?e?llnm lm
?
即 e
n?N?1
??(l,n)
?
于是
n?N?1
??(l,n)?llnm
m
考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设
?
m
N?1
?(l,n)dn?llnm
l m
对m求导，得到 ?(l,m)?于是
al??l??
?lnn?
nan?1n
an
?l?? an?1
即 ???nln
|nln
an
?l|?? an?1
?
anan1
故lim?(ln,n)?l可选为limnln?l，l为p-级数?p的p值，l?1，l??都n??n??an?1an?1n?1n
?
可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，
?a
n?1
n
的收敛性
和p-级数
1
的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。故 ?pnn?1
?
??an
limnln?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n?1
在limln
n??
anaaa
?0的情况下，lnn?n?1，故limnlnn?l可换成
n??an?1an?1an?1an?1
an
?1)?l an?1
limn(
n??
除了用p-级数
1
作标准，还可以用别的吗？ ?p
n?1n
?
可以，柯西选择了级数
?nln
n?1
?
1
l
n
m
?
即 e
n?N?1
??(l,n)
?
1
?e?llnlnm?lnm l
mlnm
于是
n?N?1
??(l,n)?llnlnm?lnm
m
考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设
?
m
N?1
?(l,n)dn?llnlnm?lnm
l1
?
mlnmm
对m求导，得到 ?(l,m)?于是
(
al??1l??1
?)?lnn?(?) nlnnnan?1nlnnn
an
)lnn?l?? an?1
即 ???(nln
|(nln
an
)lnn?l|?? an?1
?
anan1
故lim?(ln其中l为?的参数，l?1，,n)?l可选为lim(nln?1)lnn?l，ln??n??an?1an?1n?1nlnn
?
l??都可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，?an的
n?1
收敛性和级数
1
的收敛性判定完全吻合，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。 ?l
nlnnn?1
?
??
an
lim(nln?1)lnn?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散。 n??an?1n?1n?1
在limln
n??
anaaa
?0的情况下，lnn?n?1，故lim(nlnn?1)lnn?l可换成
n??an?1an?1an?1an?1
an
?1)?1)lnn?l an?1
lim(n(
n??
这是因为 lim(nln
n??
an
?1)lnn?l等价于 an?1
a
(nln?1)nln?l?o
an?1ln
(1)
anl11???o()an?1nlnnnnlnn
ln
ana
?n?1an?1an?1
anl11?1???o() an?1nlnnnnlnn(n(
an
?1)?1)lnn?l?o(1)an?1
an
?1)?1)lnn?l an?1
lim(n(
n??
对于最初知道的比值判敛法，其实也可以按照上面的方式寻找到，即用等比级数准。
?
?l
n?1
?
n
作标
e于是
n?N?1
??(l,n)
m
m
?lm?emlnl
n?N?1
??(l,n)??mlnl
考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设
?
m
N?1
?(l,n)dn??mlnl
对m求导，得到 ?(l,m)??lnl 于是
?ln(l??)?ln
an
??ln(l??) an?1
即 ???
an?1
?l?? an
|
an
?l|?? an?1
?
anan
故lim?(ln,n)?l可选为lim?l，其中l为?ln的公比，0?l?1，l??都可保n??n??aan?1n?1n?1
?
持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，
?a
n?1
n
的收敛性和级
数
n
l?的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。 n?1
?
??an?1lim?l，当0?l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n
根值判敛法虽然也是以等比级数作标准，但似乎不能按上述模式推导出来。
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