高中几何证明

时间：2023-04-29 19:06:40 证明范文我要投稿

高中几何证明

一、

高中几何证明

已知平行四边形ABCD，过ABC三点的圆O1，分别交AD.BD于E.F、过CDF三点的圆O2交AD于G 。设圆O1.O2半径分别为R,r。

1.求证AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^2

连接AC、GC。利用两个圆转化角的关系，

∠AGC = 180 - ∠DGC = 180 - ∠DFC = ∠BFC = ∠BAC = ∠ACD

于是两个三角形ACG和ADC相似。第一问由此立得。

同样利用上述相似，∠GCA = ∠ADC = ∠ABC。于是由“弦切角等于圆周角”，说明GC与圆O1相切。于是GC^2 = GE*GA。

在两个圆中利用正弦定理，不难发现R/r = BC/CD = AD/CD。此时

AD/EG = AG*AD/AG*EG = AC^2/GC^2 = (AC/GC)^2 = (AD/CD)^2

最后一个等式仍然源于前述相似

二、

因为不能上传图片，，所以口叙述一下，，高手们都可以想象出来吧

在一个圆的圆上选不重合的四点，，，连接成一个非平行四边形非梯形的四边形，，也就是内切四边形吧，，然后延长其中两条边，，交于点A，，再延长另外两条边交于点B，，然后过A点做圆的两条切线，，切线交圆于点C和D，，怎样证明B,C,D共线?

用调和点列的方法较为容易但方法的掌握不在高中的要求内

下面采用简单的定理来证明比较麻烦

首先，设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点P，AD与BC交于点Q，过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.

再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：P、F、R、E共线.

设OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD，并延长AL到S.

由Menelaus定理，

AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1 -------------------------------------------------------------------------------1

由Ceva定理，

AB/BP×PC/CD×DM/MA=1 -------------------------------------------------------------------------------2

由1、2，

DM/MA=DQ/QA --------------------------------------------------------------------------------*

另一方面，

由射影定理，

QE^2=QL×QO ----------------------------------------------------------------------------------------------3

由切割线定理，

QE^2=QD×QA ----------------------------------------------------------------------------------------------4

由3，4，

QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四点共圆

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