证明向量共面

时间：2023-04-29 18:35:56 证明范文我要投稿

证明向量共面

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

证明向量共面

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

充分不必要条件。

如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。

“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+ Zc-Xa=0

∴ Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它们共面。

简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本

1.若向量e1、e2、e3共面，

(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.

即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.

2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，

就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,

于是e1,e2,e3共面。

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