平面向量教案

平面向量教案

二、复习要求

1、 向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

=

- =

记 =(x1,y1), =(x1,y2)

则 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r 记 第一文库网=(x,y)

则λ =(λx,λy) 两个向量

的数量积

· =| || |

cos

记 =(x1,y1), =(x2,y2)

则 · =x1x2 y1y2

3、 运算律

加法: = ,( ) = ( )

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

两个向量的数量积: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

4、 重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言: ⊥ · =0

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。