拉格朗日中值定理的一些应用
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拉格朗日中值定理的一些应用
柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系
莫明忠
［摘要］微分中值定理是微分学的基础定理,而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心,有着广泛的应用。本文对拉格朗日中值定理应用方面作一些探讨和归纳。［关键词］拉格朗日中值定理极限不等式收敛
拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础。它作为
中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举例说明拉格朗日中值定理在七个方面的应用。
１．求极限
由拉格朗日中值定理指出，如果f在[a,b]连续，在(a,b)可导，则有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),a<ξ
因此对坌x(a,b)，有f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a),a<ξ
例1求limn2(姨n
n+1
n→∞
-姨)(x>0)
解：令f(t)=x'，则对任何自然数n，f(t)在
1,1
n+1n姨
上适合中值定理的条件，而且此时f'(t)=xt
lnx是t上的严格单调函数，因此在11
,姨上利用拉氏中值公式，有
n2(n姨-n+1姨)=n2姨f1δ-f1δ姨=n2f'(ξ)1-1
=n2xξlnx,
1<ξ<1，当n→+∞时，ξ→0。故原极限=limn2
n→+∞xξlnx=lnx。
２．证明不等式
证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来，比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型。这时，如果考虑用拉格朗日中值定理，会比较简单。
1111例2试证不等式k
1，n为自然数。1证明：令f(x)=k(k>1)，对f(x)在[n,n+1]上应用拉氏中值定理，则在(n,111n+1)内存在ξ，使f(n+1)-f(n)=f'(ξ)，即k-k=-k
lnk。因为k>1，1111
lnk>0，所以有k-k
lnk
0上是单调递减1111111kk-k
的，又因n<ξ<<k，所以
由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点x1，x（2不妨设x1
有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，
那么若f'(x)恒为0，则有f'(ξ)=0，所以f(x2)=f(x1)，由x1，x2的任意性可知，f(x)在定义域内函数值恒等。即有下面一个推论：
推论：如果函数f(x)在开区间I内的导数恒为零，那么f(x)在I内是一个常数，利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目。
例3证明arctgx-1arccos2x=π(x≥1)恒等。
证明：令φ(x)=arctgx-12arccos2x1+x2(x≥1)，在(x≥1)时arccos2x1+x
2有意义，且φ'(x)=112(1+x2
)-2x·2x+1姨
δ
=1+11-2x1+x22
2(1-x)=0∴在x>1时，φ(x)=c（常数）。又取(1,+∞)内任一点，如姨，有φ(姨)=π-1π=π，且φ(1)=π-0=π，所以端点值也成立，由推论有arctgx-12arccos2x1+x2=π4
(x≥1)恒等。４．证明等式
用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项。证明
的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。
例4设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证埚ξ,η∈
(a,b)，使得eη-ξ
[f(η)+f'(η)]=1。
证明：令F(x)=exf(x)，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，故存
在η∈(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)=eη[f(η)+f'(η)]，由条件f(a)=f(b)=1，可得eb-e
a
=eη[f(η)+f'(η)]，再令φ(x)=ex，则φ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，
故存在ξ∈(a,b)，使得eb-ea
=eξ，综合上述两式可得eξ=eη[f(η)+f'(η)]，即
eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。
５．研究函数在区间上的性质
因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整
体认识。比如研究函数在区间上的符号、
单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法。
例5证明:若函数f(x)于有穷或无穷的区间(a,b)内有有界的导函数f'(x),则f(http://http://meiwen.anslib.com/news/55953BF76A97CA5B.htmlx)于(a,b)中一致连续。
证明：设当x∈(a,b)f'(x)≤M，对于坌x1,x2∈(a,b)，在以x1,x2为端点的区间上由拉氏中值定理，有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)，ξ在x1,x2之间。那么有f'(x)
21
≤M，对于坌ε>0，取δ=ε，则当x1,x2∈(a,b)，且x1-x2<δ，就有f(x1)-f(x2)
=x1-x2f'(ξ)≤M(x1-x2)<ε（ξ在x1,x2之间）由一致连续定义可知，f(x)在(a,b)内一致连续。
６．估值问题
证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二
阶及二阶以上的导函数估值时。
但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。
a
例6设f"(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=0，试证：乙
bf"(x)dx≥4
am≤xax≤b
f(x)
证明：若f(x)≡0，不等式显然成立，若f(x)不恒等于0，埚c∈(a,b)，使am≤axx≤bf(x)=f(c)，在[a,c]及[c,b]上分别用拉氏中值定理，有f'(ξ1)=f(c)，f'(ξ2)=f(c)aξ，从而乙bf"(x)dx≥乙
1ξf"(x)dx≥ξ
2乙
1ξf"(x)dx=f'(ξ2)-f'(ξ1)=2
f(c)(b-a)1再利用(c-a)(b-c)≤(b-a)2，即得所证。
７．证明级数收敛
∞∞
例7若一正项级数Σan(an>0)发散，sn=aa1+a2+…+an，证明级数nn=1
Σ
n=1
sn
(δ>0)收敛。
证明：作辅助函数f(x)=1δ，则f'(x)=-，当n≥2时，在[sn-1,sn]上用拉
氏中值定理，得f(sn)-f(sn-1)nn1=f'(ξn)(sn-1<ξn
n-1s，nδ
∞
由Σ1
n=21s-1s收敛，即得所证。n-1n
δ
nn
参考文献［1］周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用［J］.高等数学研究，1999,2(3).
［2］陈文灯，黄先开.数学题型集粹与练习题集［M］.世界图书出版公司，2001.3.
［3］钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究［M］.科学出版社，2000.
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