高中数学平面向量知识点归纳和测试题

时间:2021-11-08 15:50:11 资料 我要投稿

高中数学平面向量知识点归纳和测试题

必修四 第二章 平面向量

高中数学平面向量知识点归纳和测试题

1.在△ABC中,AB?c,AC?b.若点D满足BD?2DC,则AD?( ) A.

21b?c 33

B.c?

5

32b 3

C.

21b?c 33

D.b?

1

32c 3

2.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB?(2,4),AC?(1,3),则BD?( ) A. (-2,-4)

B.(-3,-5) C.(3,5)

D.(2,4)

3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则

AD?BE?CF与BC( )

A.反向平行

.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

4.关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:

,k),b?(?2,6),a∥b,则k??3. ①若ab=ac,则b?c.②若a?(1

③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|,则a与a?b的夹角为60. 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)

?的值为() 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P,则点P分有向线段PP12所成的比

A -

1

3

B -

1 5

C

1 5

D

1 3

( )

D.2

( )

→→→

6.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于

A.0

B.22

2

7.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影等于

A.-4

B.4

12

C5

125

( )

8.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于

13A.-+22

13-b 22

31C.a-b 22

31D.-a

22

( )

9.与向量a=(13)的夹角为30°的单位向量是

13

A.(,或(1,3)

22

B.(

31

) C.(0,1) 22

D.(0,1)或

3122( )

11

10.设向量a=(1,0),b=(),则下列结论中正确的是

22

A.|a|=|b|

B.a·b=

2

2

C.a-b与b垂直 D.a∥b

11.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物

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体上一点,为使物体保持平衡,

现加上一个力f4,则f4等于 A.(-1,-2)

( ) D.(1,2)

B.(1,-2) C.(-1,2)

12.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )

A.1 B.2 C.2 D.

2

2

b?a·b= . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°,则a·

14.如图,平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°,OA与的夹角为30°,且|OA|=||=1,||=2,若=λOA+μλ,μ∈R),则λ+μ的值为.

?aa?

c=a-bab?0a??b,则向量a与c的夹角为( ) 15.若向量与不共线,,且

ab??

A.0

B.

π

6

C.

π 3

D.

π 2

16.若函数y?f(x)的图象按向量a平移后,得到函数y?f(x?1)?2的图象,则向量a=( )

,?2) A.(?1,?2) B.(1,2) C.(?1,2) D.(1

3),a在b

上的投影为17.设a?(4,

,b在x轴上的投影为2,且|b|≤14,则b为( ) 2

C.??2?

14) A.(2,

B.?2,?

?

?2?? 7???2?7?

8) D.(2,

18.设两个向量a?(??2,?2?cos2?)和b??m?sin??,其中?,m,?为实数.若a?2b,则

?

?

m2

??

?

8] 的取值范围是( ) A.[-6,1] B.[4,

m

C.(-6,1] D.[-1,6]

19.直角坐标系xOy中,i,j分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,若

????

AB?2i?j,AC?3i?kj,则k的可能值个数是()

A.1 B.2 C.3

D.4

→→

20.向量BA=(4,-3),向量BC=(2,-4),则△ABC的'形状为

A.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形

B.等边三角形

( )

D.等腰直角三角形

( )

21.若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则λ的取值范围是

10

,+∞? A.??3?

10

? B.??3?

10

-∞, C.?3?

10

-∞, D.?3?

22.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.

23.已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积a·b=________. 24.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数k的值为________. 25.已知a=(1,2),b=(-2,3),且ka+b与a-kb垂直,则k=( ) (A) ?1?2(B)

?

?

?

?

?

?

2?1(C) 2?3(D) 3?2

课堂小测

1.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点

F.若AC?a,BD?b,则AF?( )

A.

11a?b 42

B.

21

a?b 33

C.

11

a?b 24

D.a?

1

32b 3

2.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC?CB?0,则OC?( ) A.2OA?OB

B.?OA?2OB

C.

21

OA?OB 33

D.?OA?

1

32

OB 3

?xπ??π?

?2?平移,则平移后所得图象的解析式为() 3.将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?

A.y?2cos????2 B.y?2cos????2

?34??34??xπ?

C.y?2cos????2

?312?

?xπ?

D.y?2cos????2

?312?

CD?4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD?2DB,

A.

1

CA??CB,则??( ) 3

2 3

B.

1 3

C.?

1 3

D.?

2 3

5.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于

A.6

( )

B.5 C.4 D.3

6.已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).

(1)若|c|=25,且c∥a,求c; (2)若|b|=

7.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,c=5a+3b,d=3a+kb,当实数k为何值时:

(1)c∥d;(2)c⊥d.

8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; →→→

(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.

,且(a+2b)⊥(2a-b),求a与b的夹角. 2

→→→→→→→→→

9.已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1.

求证:△P1P2P3是正三角形.

10.已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P.求证:

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

1

解7 由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3.

2

9

(1)当c∥d,c=λd,则5a+3b=λ(3a+kb). ∴3λ=5,且kλ=3,∴k5

29

(2)当c⊥d时,c·d=0,则(5a+3b)·(3a+kb)=0. ∴15a2+3kb2+(9+5k)a·b=0,∴k=-.

14→→→→→→

解8 (1)AB=(3,5),AC=(-1,1),求两条对角线的长即求|AB+AC|与|AB-AC|的大小. →→→→→→→→

由AB+AC=(2,6),得|AB+AC|=210, 由AB-AC=(4,4),得|AB-AC|=42. →→→→→→→(2)OC=(-2,-1), ∵(AB-tOC)·OC=AB·OC-tOC2, 11→→→→→→易求AB·OC=-11,OC2=5, ∴由(AB-tOC)·OC=0得t=-.

5

→→→→→→→→→

证明9 ∵OP1+OP2+OP3=0,∴OP1+OP2=-OP3,∴(OP1+OP2)2=(-OP3)2,

→→

1OP·OP1→2→2→→→2→→

∴|OP1|+|OP2|+2OP1·OP2=|OP3|, ∴OP1·OP2=-,cos∠P1OP2=,

22→→

|OP1|·|OP2|→→→

∴∠P1OP2=120°.∴|P1P2|=|OP2-OP1|=

→→

?OP2-OP1?2=

→→→→OP12+OP22-2OP1·OP2=3.

→→

同理可得|P2P3|=|P3P1|=故△P1P2P3是等边三角形.

证明10 如图建立直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). →→→

(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), →→→

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1), →→∵BE·CF=-1×(-2)+2×(-1)=0, →→

∴BE⊥CF,即BE⊥CF.

→→

(2)设P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1),

→→→→

∵FP∥CF,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由BP∥BE,得y=-2x+4,代入x=2y-2. 686868→→→→

. ∴AP2=??2+??2=4=AB2,∴|AP|=|AB|,即AP=AB. 解得x=,∴y=,即P??55?5??5?55

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