工程测试技术基础部分课后习题答案

时间:2023-05-01 11:08:18 资料 我要投稿
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工程测试技术基础部分课后习题答案

信号及其描述习题

1.1求周期方波(图1-4)的傅立叶级数(复指数函数形式)。画出频谱图|Cn|—ω ;φn—ω 图并与表1-1对比。

??

解:傅立叶级数的复指数形式表达式:x(t)?

Ce

jn?n

0t

;n?0,?1,?2,?3,???

n????

式中: C1T?0?jn?t1??0T?jn??

? n?2TT0x(t)e0dt?0t2?jn?0tT?T0(?A)edt?Aedt?0?20??20?

T ??0

1?A0

?jn2

T?e?0t???1?Ae?jn?0t?0??jn?0??T0T?0??jn??0

2

?0

??jAjA1??jn?jn?

?

A

n??n??2e?e??jn?

?1?cosn?? ???j2A;n??1,?3,?5 ??,???

?n??0;

n??2,?4,?6,???所以: ?

??

x(t)??

??j2A?jn?0t;n??1,?3,?5,?7

n????n???e

,???幅值频谱:

C?22

2AnnR?CnI?;n??1,?3

n?

,?5,???相位频谱: ?2A???

C?????;n?1,3,5,???nI ?n?arctgC?arctg?

?????2nR0? ??????2;n??1,?3,?5,???

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解:

?T1?

T02x2?

?x?limT??0x(t)dt?Tx0sin?tdt?0?;式中:T0?

00?

xrms?1?T0Tx2(t)dt?1?

T0?x0sin?dt?2

dt?x0

00T002

1.3求指数函数 x ( t) ? Ae ? ? t ; (? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 解:

X(f)????x(t)e?j2?ftdt??

??Ae??t?e?j2?ftdt?A

??0??j2?f1.4求符号函数(题图1-1a)和单位阶跃函数(题图1-1b)的频谱.

解:1) 符号函数的频谱:

??t令: x1(t)?limex(t);??0

X1(f)?x1(t)e?j2?ftdt

0??t????t

?j2?ft??lime(?1)edt?ee?j2?ftdt??? 0??0????

1?

j?f

2)单位阶跃函数的频谱: ??t

x(t)?limex(t);2 ??0

????t 1?j2?ft

X2(f)?x2(t)e?j2?ftdt?lim?dt??0ee?? ??0??j2?f

1.5求被截断的余弦函数cosω0t(题图1-2)的傅立叶变换。

?cos?0t;t?T x(t)??

t?T ?0;

解: ???T

?j2?ft

X(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt ???T

?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft

?e?eedt ?T2

?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T?

?T???

?(f?f)2T?(f?f)2T00??

?T?sinc??1?sinc??2?

t

1.6求指数衰减振荡信号(见图1-11b): x ( ? e ? ? sin ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? t)0 ) 的频谱 解: ?j2?ft????

?j2?ft

htTp://meiwen.anslib.com

??t

X(f)?x(t)edt?esin2?f0tedt

??0

??j

?e??t?e?j2?f0t?ej2?f0te?j2?ftdt 02

?j?11 ??????2??j2?(f?f)??j2?(f?f)00??

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示),现乘以余弦型振荡cosω0t ,(ω0>ωm)。

在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问:若ω0

?j2?ft

X(f)?x(t)edt??f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ????

??

1

?

??

??

??

??

?

?

??

?

?

??

??

??

??f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt??

?2?11

??

当ω0

1.8求正弦信号x(t)=x0sin(ω0t+φ)的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解:将x(t)=x0sin(ω0t+φ)写成(ω0t+φ)=arcsin(x(t)/ x0)

等式两边对x求导数: 1 dtx011

?? dx?22

?0x0?x2(t)0??x(t) ???x??

?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT??

2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s,2s,5s的正弦信号,问幅值

误差将是多少?

解:H????

1j???1

1

?

1Y???? 0.35?j?1X??

1?0.7?????

7??

2

A????

?0.35?2

当T=1s时,A??1??0.41,即AY?0.41Ax,误差为59% 当T=2s时,A??2??0.67,误差为33% 当T=5s时,A??3??0.90,误差为8%

2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45,通过传递函数为H?s??

?

??

1

0.05s?1

的装置后所得到的稳态响应。

解: 利用叠加原理及频率保持性解题

x?t??0.5sin10t?90?0.2sin100t?45

?

?

????

A????

11???2

?

1?0.00?52

,??????arctg?0.005??

?1?10,A??1??1,???1??2.86?

x?t1??0.5?1?sin10t?90?2.86 ,

?

?

??

?2?100 ,A??2??0.89 ,???2???26.57?

y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57??45?

?y?t??0.5sin10t?87.14??(?0.178)sin100t?18.43?

2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??在内的输出y?t?的表达式。

解: x?t??cos??t??sin?t?90? H?s??

??

????

1

的一阶装置后,试求其包括瞬态过程2s?1

??

11

,A????,???arctg????

2?s?1??? y?t??

1???2

sin?t?90??arctg????

??

=

1???2

cos??t?arctg???

2.8求频率响应函数

3155072

的系统对正弦输入

1?0.01j?1577536?176j???2

x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。

解: 写成标准形式 H????

j?j???12

a??n2

?2??nj???

2n

2

?1256?1

??2 ?

0.01j??1??2?2?1256?j??12562

∴ A????

1?62.8?0.012

?

1

2

?2

??62.8?2?1761??????

1256????1577536??

?1.69?0.99?1.7 对正弦波,ux?

A2

?

1.7?10

2

?12

241?n1.5

2.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组2222

S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n

成的系统的总灵敏度(不考虑负载效应)

解: H????H1????H2??? H1????

1.53

?,S1?3

3.5S?0.57S?1

241?n

H2????2,S2?41 2

S?1.4?nS??n

S?S1?S2?3?41?123

2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,则时间 单常数应去多少?若用该系统测试50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?

解: 由振幅误差

E?

|A0?AI|A

?1?0?1?A????5%

AIAI

∴ A????95% 即 A????

1???1

2

?95% ,

?2??100t2

?0.95,??5.23?10?4s

?4

?,且??5.23?10s时 当??2?f?2??50?100

A????

1

?5.23?10?100?

?4

2

?98.7%

∴ 此时振幅误差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10?100???9.3

?4

?

??

2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz,阻尼比

??0.14,问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时,其振幅比A???和相角差????

各为多少?若该装置的阻尼比可改为??0.7,问A???和????又将作何种变化?

解: 作频率为400Hz的正弦力测试时 A????

1

????1???????n

?

???

2

?????4?2?????n?

2

?

???

2

?

1

2

??400?2?400??2

???4??0.14????1??800800????????

2

?1.31

???2??????

n?? ??????arctg 2???1???????n?

?400?

2?0.14???

?800?

??arctg2

?400?1???

800??

??10.6 当阻尼比改为??0.7时 A????

?

1

2

??400?2?400??2

???4??0.7????1??800800????????

2

?0.97

?400?2?0.7???

800????43?

??????arctg2

?400?1????800?

即阻尼比变化时,二阶振荡系统的输出副值变小,同时相位角也变化剧烈,相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后,测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3,试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解: 最大超调量

?????1?2???

????

M?e 即 ??

?1.5

?0.13

1??????1?ln1.5?

2

且 Td?

2?

?d

?6.28

2

∴ ?d??n???

2?

?1 6.28

11 ?n?

??

2

?

?0.132

?1.01 系统的传递函数 H?s??

Y?s?kXs?S

22?S

?2?

n

??1

n

?

3

S

2

?1.01?2?2?0.13?S1.01

?1

该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H?j???

Y???X??K

?2 ??j??2??j??

???n??

??

?1n ?

K

???1???

??2j??

?2?n???n ∴ H?j?K3

n??

?? ??1??2

??????0.26j??????2j??n???

?n ?d为有阻尼固有频率 M=0.5,?2?

d?

T

?1 ???????? M?e???

2??

???

1?2

?0.215????lnM??

?1 ?2

d??n?? ,∴ ??d

n?

1.02

??

2

? S=3

∴H?s???2n

S2?2??2

?S nS??n

?1.04

S2

?0.44?S?1.04

?3 A??1n??

34?

2

??6.98 (???n时代入得)

A????

1

2?

,??????90? ????

n???arctg???2

y?t??6.98sin??1.02t???

?

2??

4.1解 :?=2?m时,

单臂,U?R

y?4RU0 0

USg?R??y?

4R

U0

6U?2?120?2?10?y

*3?3?10?64?120

(V)双臂,U?R

y?

2RU0 0

USg?R??y?

2R

U0

2?120?2?10?6

U6y?2?120

*3?6?10?(V)

:?=2000?m时,

单臂,U?R

y?

4RU0 0

USg?R??y?

4R

U0

2?120?2000?10?6

Uy?*3?3?10?3(V)

4?120

双臂,Uy?

?R

U0 2R0

Sg?R??2R

U0

Uy?

2?120?2000?10?6

Uy?*3?6?10?3(V)

2?120

双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解:Uy?

?R

U0 R0

Sg?R??R

U0

Uy?

Uy?Sg?(Acos10t?Bcos100t)?Esin10000t

?Sg?AEcos10tsin10000t?Sg?BEcos100tsin10000t

11

SgAE(sin10010t?sin9990t)?SgBE(sin10100t?sin9900t)22

1100101001099909990

Uy(f)?jSgAE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]

42?2?2?2?1101001010099009900?jSgBE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]42?2?2?2??

4.5解:xa?(100?30cos?t?20cos3?t)(cos?ct)

?100cos2000?t?30cos1000?tcos2000?t?20cos3000?tcos2000?t?100cos2000?t?15(cos3000?t?cos1000?t)?10(cos5000?t?cos1000?t)

Xa(f)?50[?(f?10000)??(f?10000)]?7.5[?(f?10500)??(f?10500)]

?7.5[?(f?9500)??(f?9500)]?5[?(f?11500)??(f?11500)]?5[?(f?8500)??(f?8500)]4.10 解:H(s)?

111

???3 ?s?1RCs?110s?1

H(?)?

1

10?3

j??1

A(?)?

11?(??)

2

?

?(10?3

?)

?(?)??arctan(??)??arctan(10?3?)

Uy?10A(1000)sin(1000t??(1000))?10?0.707sin(1000t?450)?7.07sin(1000t?450

)

4.11 解:A(?)?

1?(??)

2

?(?)??arctan(??) 1

??10时,

A(10)?

?(0.05?10)

?0.816

?(10)??arctan(0.05?10)?26.56?

)?

1

??100时,

A(100?(0.05?100)

?0.408

?(100)??arctan(0.05?100)?78.69?

y(t)?0.5?0.816cos(10t?26.56?)?0.2?0.408cos(100t?45??78.69?)?0.408cos(10t?26.56?

)?0.0816cos(100t?33.69?

)

5.1 t)???

e??th(;(t?0,??0) ?0;(t?0)

R??

x(?)??h(t)?h(t??)dt????

e??te??(t??)??

dt

????

?e

????

e

?2?t

dt?

e2?

5.2 x(t)?A1sin(?1t??1?

?

2

)?A2sin(?2t??2?

?

2

)

由同频相关,不同频不相关得:

2A2Rx(?)?cos?1??cos?2? 22A12

4?5.3:由图可写出方波的基波为x1(t)??sin(?t?2)

Rxy(?)?2

?cos(????

2)

5.4: Sxy(f)?H(f)Sx(f)

H(f)?Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f)?F[Rxy(?)]

Sx(f)?F[Rx(?)]?F[Rxy(??T)]?F[Rj?T

xy(?)]e

H(f)?e?j?T

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

?2

x?Rx(0)?Acos0?A

x2

rms?x?A

5.7:由对称性性质:

F{sinc2(t)}?1 f??

2?f??

2

?

?2

(t)dt?

??sinc2???df?? ?

2

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