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工程测试技术基础部分课后习题答案
信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
??
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?
Ce
jn?n
0t
;n?0,?1,?2,?3,???
n????
式中： C1T?0?jn?t1??0T?jn??
? n?2TT0x(t)e0dt?0t2?jn?0tT?T0(?A)edt?Aedt?0?20??20?
T ??0
1?A0
?jn2
T?e?0t???1?Ae?jn?0t?0??jn?0??T0T?0??jn??0
2
?0
??jAjA1??jn?jn?
?
A
n??n??2e?e??jn?
?1?cosn?? ???j2A;n??1,?3,?5 ??,???
?n??0;
n??2,?4,?6,???所以： ?
??
x(t)??
??j2A?jn?0t;n??1,?3,?5,?7
n????n???e
,???幅值频谱：
C?22
2AnnR?CnI?;n??1,?3
n?
,?5,???相位频谱： ?2A???
C?????;n?1,3,5,???nI ?n?arctgC?arctg?
?????2nR0? ??????2;n??1,?3,?5,???
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
?T1?
T02x2?
?x?limT??0x(t)dt?Tx0sin?tdt?0?;式中：T0?
00?
xrms?1?T0Tx2(t)dt?1?
T0?x0sin?dt?2
dt?x0
00T002
1.3求指数函数 x ( t) ? Ae ? ? t ; (? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 解：
X(f)????x(t)e?j2?ftdt??
??Ae??t?e?j2?ftdt?A
??0??j2?f1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.
解:1) 符号函数的频谱:
??t令: x1(t)?limex(t);??0
X1(f)?x1(t)e?j2?ftdt
0??t????t
?j2?ft??lime(?1)edt?ee?j2?ftdt??? 0??0????
1?
j?f
2)单位阶跃函数的频谱: ??t
x(t)?limex(t);2 ??0
????t 1?j2?ft
X2(f)?x2(t)e?j2?ftdt?lim?dt??0ee?? ??0??j2?f
1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
?cos?0t;t?T x(t)??
t?T ?0;
解： ???T
?j2?ft
X(f)?x(t)edt?cos2?f0te?j2?ftdt ???T
?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft
?e?eedt ?T2
?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T?
?T???
?(f?f)2T?(f?f)2T00??
?T?sinc??1?sinc??2?
t
1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( ? e ? ? sin ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? t)0 ) 的频谱 解： ?j2?ft????
?j2?ft
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??tX(f)?x(t)edt?esin2?f0tedt
??0
??j
?e??t?e?j2?f0t?ej2?f0te?j2?ftdt 02
?j?11 ??????2??j2?(f?f)??j2?(f?f)00??
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。
在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0
?j2?ft
X(f)?x(t)edt??f(t)cos2?f0t??e?j2?ftdt ????
??
1
?
??
??
??
??
?
?
??
?
?
??
??
??
??f(t)?e?j2?f0t?ej2?f0t??e?j2?ftdt??
?2?11
??
当ω0
1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)
等式两边对x求导数： 1 dtx011
?? dx?22
?0x0?x2(t)0??x(t) ???x??
?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT??
2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)
2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值
误差将是多少？
解：H????
1j???1
1
?
1Y???? 0.35?j?1X??
1?0.7?????
7??
2
A????
?0.35?2
当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8%
2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45，通过传递函数为H?s??
?
??
1
0.05s?1
的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
x?t??0.5sin10t?90?0.2sin100t?45
?
?
????
A????
11???2
?
1?0.00?52
，??????arctg?0.005??
?1?10，A??1??1，???1??2.86?
x?t1??0.5?1?sin10t?90?2.86 ，
?
?
??
?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57?
y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57??45?
?y?t??0.5sin10t?87.14??(?0.178)sin100t?18.43?
2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??在内的输出y?t?的表达式。
解： x?t??cos??t??sin?t?90? H?s??
??
????
1
的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s?1
??
11
，A????，???arctg????
2?s?1??? y?t??
1???2
sin?t?90??arctg????
??
=
1???2
cos??t?arctg???
2.8求频率响应函数
3155072
的系统对正弦输入
1?0.01j?1577536?176j???2
x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。
解： 写成标准形式 H????
j?j???12
a??n2
?2??nj???
2n
2
?1256?1
??2 ?
0.01j??1??2?2?1256?j??12562
∴ A????
1?62.8?0.012
?
1
2
?2
??62.8?2?1761??????
1256????1577536??
?1.69?0.99?1.7 对正弦波，ux?
A2
?
1.7?10
2
?12
241?n1.5
2.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组2222
S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n
成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
解： H????H1????H2??? H1????
1.53
?，S1?3
3.5S?0.57S?1
241?n
H2????2，S2?41 2
S?1.4?nS??n
S?S1?S2?3?41?123
2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解： 由振幅误差
E?
|A0?AI|A
?1?0?1?A????5%
AIAI
∴ A????95% 即 A????
1???1
2
?95% ，
?2??100t2
?0.95，??5.23?10?4s
?4
?，且??5.23?10s时 当??2?f?2??50?100
A????
1
?5.23?10?100?
?4
2
?98.7%
∴ 此时振幅误差E1?1?98.7%?1.3% ??????arctg5.23?10?100???9.3
?4
?
??
2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比
??0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A???和相角差????
各为多少？若该装置的阻尼比可改为??0.7，问A???和????又将作何种变化？
解： 作频率为400Hz的正弦力测试时 A????
1
????1???????n
?
???
2
?????4?2?????n?
2
?
???
2
?
1
2
??400?2?400??2
???4??0.14????1??800800????????
2
?1.31
???2??????
n?? ??????arctg 2???1???????n?
?400?
2?0.14???
?800?
??arctg2
?400?1???
800??
??10.6 当阻尼比改为??0.7时 A????
?
1
2
??400?2?400??2
???4??0.7????1??800800????????
2
?0.97
?400?2?0.7???
800????43?
??????arctg2
?400?1????800?
即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。
2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
解： 最大超调量
?????1?2???
????
M?e 即 ??
?1.5
?0.13
1??????1?ln1.5?
2
且 Td?
2?
?d
?6.28
2
∴ ?d??n???
2?
?1 6.28
11 ?n?
??
2
?
?0.132
?1.01 系统的传递函数 H?s??
Y?s?kXs?S
22?S
?2?
n
??1
n
?
3
S
2
?1.01?2?2?0.13?S1.01
?1
该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H?j???
Y???X??K
?2 ??j??2??j??
???n??
??
?1n ?
K
???1???
??2j??
?2?n???n ∴ H?j?K3
n??
?? ??1??2
??????0.26j??????2j??n???
?n ?d为有阻尼固有频率 M=0.5，?2?
d?
T
?1 ???????? M?e???
2??
???
1?2
?0.215????lnM??
?1 ?2
d??n?? ，∴ ??d
n?
1.02
??
2
? S=3
∴H?s???2n
S2?2??2
?S nS??n
?1.04
S2
?0.44?S?1.04
?3 A??1n??
34?
2
??6.98 （???n时代入得）
A????
1
2?
,??????90? ????
n???arctg???2
y?t??6.98sin??1.02t???
?
2??
4.1解 ：?=2?m时，
单臂，U?R
y?4RU0 0
USg?R??y?
4R
U0
6U?2?120?2?10?y
*3?3?10?64?120
(V)双臂，U?R
y?
2RU0 0
USg?R??y?
2R
U0
2?120?2?10?6
U6y?2?120
*3?6?10?(V)
：?=2000?m时，
单臂，U?R
y?
4RU0 0
USg?R??y?
4R
U0
2?120?2000?10?6
Uy?*3?3?10?3(V)
4?120
双臂，Uy?
?R
U0 2R0
Sg?R??2R
U0
Uy?
2?120?2000?10?6
Uy?*3?6?10?3(V)
2?120
双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。
4.4解：Uy?
?R
U0 R0
Sg?R??R
U0
Uy?
Uy?Sg?(Acos10t?Bcos100t)?Esin10000t
?Sg?AEcos10tsin10000t?Sg?BEcos100tsin10000t
11
SgAE(sin10010t?sin9990t)?SgBE(sin10100t?sin9900t)22
1100101001099909990
Uy(f)?jSgAE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]
42?2?2?2?1101001010099009900?jSgBE[?(f?)??(f?)??(f?)??(f?)]42?2?2?2??
4.5解：xa?(100?30cos?t?20cos3?t)(cos?ct)
?100cos2000?t?30cos1000?tcos2000?t?20cos3000?tcos2000?t?100cos2000?t?15(cos3000?t?cos1000?t)?10(cos5000?t?cos1000?t)
Xa(f)?50[?(f?10000)??(f?10000)]?7.5[?(f?10500)??(f?10500)]
?7.5[?(f?9500)??(f?9500)]?5[?(f?11500)??(f?11500)]?5[?(f?8500)??(f?8500)]4.10 解：H(s)?
111
???3 ?s?1RCs?110s?1
H(?)?
1
10?3
j??1
A(?)?
11?(??)
2
?
?(10?3
?)
?(?)??arctan(??)??arctan(10?3?)
Uy?10A(1000)sin(1000t??(1000))?10?0.707sin(1000t?450)?7.07sin(1000t?450
)
4.11 解：A(?)?
1?(??)
2
?(?)??arctan(??) 1
??10时，
A(10)?
?(0.05?10)
?0.816
?(10)??arctan(0.05?10)?26.56?
)?
1
??100时，
A(100?(0.05?100)
?0.408
?(100)??arctan(0.05?100)?78.69?
y(t)?0.5?0.816cos(10t?26.56?)?0.2?0.408cos(100t?45??78.69?)?0.408cos(10t?26.56?
)?0.0816cos(100t?33.69?
)
5.1 t)???
e??th(;(t?0,??0) ?0;(t?0)
R??
x(?)??h(t)?h(t??)dt????
e??te??(t??)??
dt
????
?e
????
e
?2?t
dt?
e2?
5.2 x(t)?A1sin(?1t??1?
?
2
)?A2sin(?2t??2?
?
2
)
由同频相关，不同频不相关得：
2A2Rx(?)?cos?1??cos?2? 22A12
4?5.3：由图可写出方波的基波为x1(t)??sin(?t?2)
Rxy(?)?2
?cos(????
2)
5.4: Sxy(f)?H(f)Sx(f)
H(f)?Sxy(f)/Sx(f)
Sxy(f)?F[Rxy(?)]
Sx(f)?F[Rx(?)]?F[Rxy(??T)]?F[Rj?T
xy(?)]e
H(f)?e?j?T
5.5:见图5-16
5.6:由自相关函数的性质可知:
?2
x?Rx(0)?Acos0?A
x2
rms?x?A
5.7:由对称性性质:
F{sinc2(t)}?1 f??
2?f??
2
?
?2
(t)dt?
??sinc2???df?? ?
2
11
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