§1-3无穷小量和无穷大量

时间:2023-05-01 00:37:01 资料 我要投稿
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§1-3无穷小量和无穷大量

§1-3 无穷小量和无穷大量

牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”

同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔(Rolle,M. 1652--1719)这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为,即称变量y为无穷小量,若它在无限变化过程中,总有那么一个时...0的变量...

刻,在这个时刻以后,能够使绝对值

y小于预先给出的任何正数。例如,

数列

1,n?

?)和当x?0时的函数xn,nsinx,tanx等

都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是,它不是常量[?(x)?0是一个特例],所以又不同于“零”。在某个极限过程(n??或x??)中的无穷小量就简记成o(1)[读作“小欧”,不能读作零]。小欧“o”是牛顿当初用过的记号.

定理1-1 limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).

x??

(充分必要条件)

特别,

函数f(x)在点c连续??f(x)?f(c)?o(1)(x?c) (※)

证 若limf(x)?C,则lim[f(x)?C]?0,即

x??

x??

f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)

反之,若f(x)?C?o(1)(x??),则

limf(x)?lim?C?o(1)??C?0?C

x??

x??

特别,当函数f(x)在点c连续时,因为limf(x)?f(c),所以有结论(※).例如,当x?c

x?c

时,

xn?cn?o(1), sinx?sinc?o(1), cosx?cosc?o(1)

1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则,容易证明无穷小量的下述运算规则:若o(1)是某一个极限过程(n??或x??)中的无穷小量,根据极限的运算规则,则有 ⑴ O?o(1)

o(1)[其中O是有界变量(*),特别它可以是常数];

⑵ o(1)?o(1)?o(1),o(1)?o(1)?o(1). 它们与常量的运算规则是不同的! ..............

2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中,把某一个不取0值的无穷小量?看作“基本无穷小量”,而把另一个无穷小量?与基本无穷小量?相比较.若有极限

lim

?

?l(0?|l|???) ?

(*)

记号O读作“大欧”,也不能读作“零”。

48

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则在这个极限过程中,

⑴当l?0时,称?与?.特别,当l?1时,称?与?记成???或???.例如sinx?x(x?0),tanx?x(x?0),因为

sinxtanx

?1,lim?1

x?0xx?0x

⑵当l?0时,?与?相比较,称?为高阶无穷小量,并记成??o(?).例如,当x?0时,

lim

x?o(x),x2?o(x).

?lim例8

x?1x?1

?1?x?1

1?x?1

??

x?1

注意,其中当x?

1时,??定理1-2 设?和??0在某一个极限过程中是等价无穷小量,则在这个极限过程中,

lim(???)?lim(???)(等价无穷小量替换)

[和或差的极限lim(???)不能用等价无穷小量替换!]

证 lim??????lim?

??

?1?lim??????lim?????. ??????????

x2x2

?,sinx2?x2,所以 例如,当x?0时,因为sin22

2

x??x222sin?2?1?cosx2???1 lim2?lim?lim

x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2?x22

2

2

再如,当x?

1时,因为

8就可以简单地做成

x?1

?x??x?1

??x?1定理1-3 若??0在某一个极限过程中是基本无穷小量,则在这个极限过程中,有高阶无穷小量的运算规则:

⑴ O?o(?)?o(?)(O为有界变量,特别可以是常数); ⑵ o(1)???o(?),其中o(1)是无穷小量; ⑶ o(?)?o(?)?o(?);o(?)?o(?)?o(?). 证明是简单的,譬如证⑶.根据极限的运算规则,因为

2

lim

o(?)?o(?)

?

?lim

o(?)

?

?lim

o(?)

?

?0?0?0

49

所以;而因为

lim

所以o(?)?o(?)?o(?2).

o(?)?o(?)

?2

?o(?)o(?)??lim???0?0?0

?????

定理1- 4 若?和??0都是同一个极限过程中的无穷小量,则在这个极限过程中,

?????????o(?) [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]

证 (?)因为lim

??

?1,根据定理1-1,?1?o(1),所以????o(1)????o(?). ??

???o(?)?lim?1?0?1,所以???. ??

例如,因为sinx?x(x?0),所以可把它等价地写成sinx?x?o(x)(x?0);同理,tanx?x?o(x)(x?0).

(?)因为lim

3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量yy在无限变化过程中,总有那么一个时刻,在这个时刻以后,能够使绝对值y大于预先给出的任何正数,简记成“y??”. 特别,若能够使y大于预先给出的任何正数,则称变量y为正无穷大量,简记成“y???”;若能够使y小于预先给出的任何负数,则称变量y为负无穷大量,简记成“y???”.

“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念,因此有下面对偶的结论.设变量y在某一个极限过程中不取数值0.

若变量y是无穷大量,则倒数是无穷大量.

具体到函数y?f(x),当自变量x在某个极限过程x??中,若函数f(x)是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量,就依次记成

就是无穷小量;反之,若变量y是无穷小量,则倒数就yy

limf(x)??,

x??

limf(x)???,

x??

limf(x)???

x??

请读者注意,这些都是记号,有时口语上也说“极限是无穷大”,但它们没有前面说的那种有穷极.....

限的含义和运算规则!

a0?a1x???anxn

例9 求lim(an?0,bm?0).

x??b?bx???bxm

01m

解 当n?m时,分子分母同除以xn?xm,则有

a0a1an?1

?????annn?1a0?a1x???anx lim?lim

x??b?bx???bxmx??b0bb01m?m1?1???m?1?bm

mxxx

n

50

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an?1a1?a?

lim?0?????an?ax??xnxn?1x???n

?

bm?1b1?b?bm

lim?0?????bm?x??xmxm?1x??

当n?m时,分子分母同除以xm,则

a0a1an?1an

?????nmm?1m?n?1m?na0?a1x???anx lim?lim

x??b?bx???bxmx??001m?m1?1???m?1?bm

mxxx

a?1an?a?a0

lim?m?m1?1???mn??x??xxx?n?1xm?n?0???0 ?

bm?1b1bm?b0?

lim?m?m?1????bm?x??xxx??

b0?b1x???bmxm

当n?m时,因为lim?0,所以(倒数的极限)

x??a?ax???axn

01n

a0?a1x???anxn

lim?? x??b?bx???bxm

01m

根据提示做习题

1.求下面的极限(或者用例9的结果直接写出答案,或者像例9那样重新计算):

4x3?3x2?2x?1? ⑴ lim

x??5x3?7x2?10

3x2?2x?1

? ⑵ lim3

x??4x?3x2?10

6x5?5x3?x?1

? ⑶ lim

x??7x2?8x?9

答案:⑴

4

;⑵0;⑶?. 5

3x?52?3x2?52?2.limsin?????lim???? x??5x?3x??x?5x?3x?

答案:

3.设函数

2

?22?

?sin???xx?

6. 5

1?2

3sinx?xcos?,x?0

f(x)??

?(1?cosx)tanx

x?0?a,

问a为何值时,f(x)在点0连续?

51

1

(tanx?x)????? 提示 f(0)?limf(x)?lim

x?0x?0(1?cosx)tanx

3sinx?x2cos

答案:a?

3

. 2

52

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