证明公理3的推论3

证明公理3的推论3

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，

显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，

根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面 ，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，

在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，

所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，

此时，AB和AE都与CD平行，

与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,

所以D也在α内，此时α和β重合，

即α和β是同一个平面，

即两条平行的直线确定一个平面。

2

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，

显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，

根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面 ，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，

在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，

所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，

此时，AB和AE都与CD平行，

与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,

所以D也在α内，此时α和β重合，

即α和β是同一个平面，

即两条平行的直线确定一个平面。

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两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

4

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

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