重要极限的证明

重要极限的证明

重要极限的证明

极限是e

a>0

在n比较大时，(1+(1-a)/n)^n<=原式<=(1+1/n)^n

取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)

由a的任意性，得

极限为e

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,单调递减

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以 时 和 为例引入.

介绍符号: 的意义, 的直观意义.

定义 ( 和 . )

几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证 例2验证 例3验证 证 ……

(二)时函数的极限：

由 考虑 时的极限引入.

定义函数极限的“ ”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =

为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有

例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.

例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.

例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有

= §2 函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性( 不等式性质 ):

Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 ， 都有 证 设 = ( 现证对 有 )

註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值 )

这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.

例1( 利用极限 和 )

例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7

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