面面平行的证明

面面平行的证明

判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

反证：记其中一个平面内的两条相交直线为a，b。假设这两个平面不平行，设交线为l，则a∥l(过平面外一条与平面平行的直线的平面与该平面的交线平行于该直线)，b∥l，则a∥b，与a，b相交矛盾，故假设不成立，所以这两个平面平行。

2

证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a 在平面α上，b 在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面 γ上，b 在平面γ上

∴a∥b.

3

用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点P，点P∈β

又因为P∈AB，所以P∈α

α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

4

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5

用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点P，点P∈β

又因为P∈AB，所以P∈α

α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

6

证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a 在平面α上，b 在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面 γ上，b 在平面γ上

∴a∥b.

证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点

又a 在平面α上，b 在平面β上

∴直线a、b没有公共点

又∵α∩γ=a，β∩γ=b

∴a在平面 γ上，b 在平面γ上

∴a∥b.

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

5

用反证法

命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β

证明:假设AB不平行于β

则AB交β于点P，点P∈β

又因为P∈AB，所以P∈α

α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。

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