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寻求算理与算法的平衡--以异分母分数加减法教学为例
分数知识的学习历来是小学数学的难点，而异分母分数加、减法是正数范围内关于加减法的一次终结，也是学生由直观思维走向抽象思维的重要一步。如果说前面学习的整数加、减法以及小数加、减法还可以依靠比较直观的计数单位，学生还能理解相同计数单位相加的算理，而在异分母分数加、减法里，直观的计数单位隐去了，只留下了相对抽象的分数单位。分数单位又不像其他计数单位那样单纯具有规律性，而且分数单位的数量也是无限的。基于此，我们必须深刻理解加、减法运算的算理本质--只有相同的计数单位才可以进行加、减法运算，这也就成了这部分内容的基本出发点。本单元主要学习异分母分数加减法的计算及其应用。其中，第80~82页教学两个分数相加或相减，重点是异分母分数的加、减法；第83~85页教学三个分数的加、减计算，积累一些计算经验。本课的教学重点是让学生理解异分母分数加法和减法的算理，即先通分再计算，以符合相同计数单位相加、减的基本原理。教学难点是理解通分的必要性。
本期呈现了吴梅香和冯玉新老师的两篇教学设计与说明。两位老师都能比较好地理解教材的编排意图，依据知识的特点和学生的认知基础，精心设计与教学，他们的共同特点是--寻求算理与算法的平衡。
1.充分发挥知识迁移作用。心理学家奥苏伯尔曾说过：影响学生学习的唯一最重要的因素是--学生已经知道了什么。影响学生学习异分母分数加、减法的已有知识有很多，其中最重要的是两点：一是相同计数单位相加减的原理，二是通分的概念。为帮助学生顺利完成知识的迁移，两位老师都注重寻找学生原有认知结构中可利用的相关旧知，如吴老师通过复习分数的意义结合问题情境让学生选择两个分数求和，学生列式并计算了15+25=35和49+19=59；冯老师通过现实的问题情境让学生计算经过汽车南站到南岸景观园的线路所用时间，学生列出了+==。此处再现同分母分数加法，有利于激活学生相关认知经验，为学生进一步探索异分母分数加、减做好了准备。
2.在数形结合中理解算理。数与形是数学中的两个最古老也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。本课所学知识对小学生来说是比较难掌握的，异分母分数具有不同的分数单位，这是学生在学习新知时首先遇到的挑战。如何让学生理解异分母分数加、减的算理?两位老师都注重让学生在数形结合中理解算理。吴老师在新知教学时，首先让学生自主尝试，或动手折纸、画图，或抽象演算，接着组织反馈交流，让学生初步明确算理，即都是把异分母的分数转化成同分母的分数，实质上就是统一了计数单位，使相同单位上的数相加，然后在练习中通过给图形涂色、七巧板问题、特殊分数加法图示等环节，让学生深入理解异分母分数加、减法的算理。而冯老师在设计新知教学时，预设了三种方案：方格纸涂色计算、化成小数计算、通分计算，然后让学生观察比较，找出三种计算的共同要素--相同计数单位上的数相加、减。从两位教师的新知教学和巩固练习中都可以发现，为帮助学生理解异分母分数加、减法的算理，依据小学生形象思维为主的规律，呈现对应的图形，以图形来表达分数，以图形来进行运算，以图形来解释算理，从而使学生在直观形象中理解算理，发展思维。
3.做好算理到算法的过渡。算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理指导下的一些人为规定。算理为算法提供了理论指导，算法使得算理具体化。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。怎样帮助学生从算理过渡到算法呢?吴老师在教学新课时，先让学生探索讨论得出了异分母分数加法的算理，然后让学生运用刚刚获得的算理迁移到异分母分数减法，并让学生用减法验算加法；在巩固练习中则让学生计算、比较、判断，使得学生运用算理指导算法，在算法应用中深化理解算理。冯老师在学生初步理解了异分母分数加法的算理之后，让学生继续在解决实际问题，自主探索异分母分数减法的算理，再通过欣赏、改错、估计、拓展等丰富的练习，帮助学生从算理过渡到算法。可见，在学生初步理解算理之后，不要立即进行抽象的算法演练，而是让学生继续通过操作和看图，直观地进行计算，在计算中加深对算理的理解，再逐步脱离形象，形成抽象的算法，并在进一步的巩固和应用中提高算法技能。
4.注重培养学生数学素养。本课属于"数与运算"领域的计算技能学习课。技能是运用知识和经验去完成某一活动的方式，从广义知识分类来看，技能属于程序性知识。程序性知识的习得，主要是通过获得一系列规则而形成规则系统，再进一步使之自动化的过程。在学生获得异分母分数加、减法的规则并使之自动化的过程中，学生通过探索、迁移、应用、提高等学习环节，发展思维能力，提升数学素养。两位老师在教学中，都注重让学生自主探索异分母分数加法的计算方法，在对几种不同方法的比较中让学生获得最一般的规则--先通分，再计算。而通过通分之后计算，把异分母分数加、减法转化为同分母分数计算，体现通分概念的应用价值，培养学生的转化思想。吴老师在练习设计中还通过计算七巧板面积、特殊分数加法，培养学生的估算意识，发展学生的数感。冯老师在教学中适时介绍古埃及的分数运算和欧洲的分数运算以及我国古代《九章算术》中的分数运算史料，渗透数学的文化性，丰富学生的数学素养。
总之，两位老师的教学设计，都从学生的学习需要出发，精心设计教学过程，有效地寻求算理与算法之间的平衡。当然，两位老师在教学设计中还可以更深入理解教材的编写意图，更密切关注学生的学习需要，以期取得更佳的教学效果。如，两位老师在沟通新旧知时，还可以更关注学生的认知基础与今天所学新知的关联，关注知识迁移的三个要素："可利用性""清晰性"和"稳定性"，这是影响本课学习的重要基础，应充分关注；在学生探索异分母分数加减法时，还可以更多地借助图形直观，帮助学生深刻理解算理，这是决定本课学习效果的关键因素，要加强指导；对于巩固练习与解决问题，还可以再作精细的针对性和层次性考虑。
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