高三等差数列求和七大方法

时间：2024-03-06 10:07:39 好文我要投稿

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高三等差数列求和七大方法

　　1.公式法。

　　2.错位相减法。

　　3.求和公式。

　　4.分组法。

　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

　　5.裂项相消法。

　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

　　小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

　　注意：余下的项具有如下的特点

　　1、余下的项前后的位置前后是对称的。

　　2、余下的项前后的正负性是相反的。

　　6.数学归纳法。

　　一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

　　(1)证明当n取第一个值时命题成立;

　　(2)假设当n=k(k≥n的第一个值，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

　　例：

　　求证：

　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

　　证明：

　　当n=1时，有：

　　1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

　　假设命题在n=k时成立，于是：

　　1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

　　则当n=k+1时有：

　　1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

　　= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

　　= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

　　即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

　　7.并项求和法。

　　(常采用先试探后求和的方法)

　　例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

　　方法一：(并项)

　　求出奇数项和偶数项的和，再相减。

　　方法二：

　　(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

　　方法三：

　　构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。

　　an=n(-1)^(n+1)

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