距离空间的概率列紧性论文

时间：2021-09-09 16:44:14 论文范文我要投稿

距离空间的概率列紧性论文

　　【摘要】 讨论了距离空间中集合的概率列紧性，在一定的条件下证明了距离空间中的概率列紧性是可分的。

距离空间的概率列紧性论文

　　【关键词】 距离空间；三角范数；列紧性

　　1 基本概念

　　定义1.1［1］（X，F）称为距离空间，X为抽象集，映射F ：X×X×X→0 （简记 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在实数t 的值）满足下列条件： ⑴ Fabc(0)=0； ⑵ 衋,b∈X, a≠b 鯿∈X,t0>0，使得Fabc(t0)<1>0,当a,b,c 中至少有二元相等； ⑷ Fabc=Facb=Fbca； ⑸ Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1軫abc(t1+t2+t3)=1 。

　　定义1.2 T 称为三角范数，且T 满足［0,1］×［0,1］×［0,1］→［0,1］映射，T 还满足下列条件： ⑴ T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； ⑵ T(a1，b1,c1)≤T(a2,b2,c2), 当a1≤a2≤,b1≤b2,c1≤c2 ； ⑶ T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； ⑷ T［T(a,b,c),d,e］=T［a,T(b,c,d),e］=T［a,b,T(c,d,e)］。

　　定义1.3 (X,F,T)称为Menger空间，满足下列条件： ⑴ (X,F)为距离空间； ⑵ T为三角范数； ⑶不等式Fabc(t1+t2+t3)≥T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3)) 成立。

　　定义1.4 设(X,F) 为距离空间，若

　　⑴ x1,x2,…,xn∈X,{xn} 收敛于X 充要条件为笑>0,λ>0,a∈X,鯪(ε,λ,α) 使得当n≥N(ε,λ,α) 时，有Fxxna(ε)>1-λ；

　　⑵ A糥，a 为A 的聚点充要条件为：对X 中的任意有限个点b1,b2,…,bn ，A中存在不同于a 的点列 {an}，使得limn→∞Faanbj(t)=H(t)(j=1,2,…,n) ；

　　⑶ 称=A∪{A的聚点} 为A 的闭包。

　　定义1.5 设(X,F) 为距离空间， X中的无穷集A 称为概率列紧集充要条件为A 的任一无穷子集A1 必然含有一个收敛的点列，即存在{an}糀1,a∈X ,使得an→a ,若X 是概率列紧集,则称(X,F) 为概率列紧空间。

　　定义1.6 设(X,F) 为距离空间，ε>0,λ>0,A糥,B糥，若存在A 的有限子集A′={a1,a2,…,an} ，使得对任意的ai∈A′ ，有Faaib(ε)>1-λ(衎∈B) ，则称 A′是关于B 的一个(ε,λ) 网。

　　定义1.7 距离空间（X，F）具有性质K 充要条件为对任意的使F(abc(t)≠H(t) ，而 limn→∞Faban(t)=H(t)，limn→∞Facan(t)=H(t) 成立的X 中的点列{an} 的limn→∞Faa′nn(t)=H(t),衋′∈X ．

　　定义1.8 (X,F)为距离空间，A糥称为概率可分的充要条件为存在X 的可数子集B ，使得A ．

　　若X 为概率可分的.抽象集，称(X,F) 为概率可分距离空间。

　　2 主要结论

　　定理2.1 设（X，F，T）为Menger空间，T 连续函数，A糥是概率列紧的充分条件为笑>0,λ>0 及X 的任意有限子集B ，存在A 关于B 的(ω,λ) 网。

　　证明：设B=b{b1,b2,…,bn} 是X 中的任一有限子集，笑>0,λ>0 ，取a1∈A ，若{a1} 不是A 关于B 的（ε,λ)网，则必存在一点a2∈A,b12∈B ，使得Fa1a2b12 (ε)≤1-λ，若{a1,a2} 仍不构成A 点关于B 的(ε，λ) 网，则必存在a3∈A,b13,b23∈B ，使得Fa1a3b13(ε)≤1-λ ，Fa2a3b23(ε)≤1-λ。如此继续下去，我们便得到A 的有限子集 A′={a1,a2,…,an}为A关于B 的(ε,λ) 网。

　　若不然，依上法便得到A 中的点列{an} 及B 中的点列b12，b13,b23,…,b1m…,bb-1m,… 使得：

　　Faiajbij(ε)≤1-λ i≠j(1)

　　因A糥是概率列紧集，且{an}∈A ，ai≠aj(i≠j) ，故存在{an} 的子列{ank} 及a∈X ，使得ank →a 。

　　因为T 连续函数，则对上述的λ>0 ，存在λ′>0 ，使得T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ 。

　　又因B 为有限集及ank→a ，故对上述ε>0,λ′>0 存在自然数1，当k≥1 时，对衎∈B ，有：

　　Faankb(ε3)>1-λ′(2)

　　特别的，有 Faan1b(ε3)>1-λ′

　　又对笑>0 ，λ′>0 及an1 ，存在自然数S ，当k≥s 时，有

　　Faanka(ε3)>1-λ′(3)

　　取k=max{1,s} ，当k≥K 时，⑵、⑶式都成立，故对衎∈B ，有：

　　Fan1ankb(ε)≥T(Faankb(ε3),Faan1b(ε3),Faan1ank(ε3))≥T(1-λ′,1-λ′,1-λ′)>1-λ

　　这与⑴式矛盾，故A′ 为A 关于B 的(ε,λ) 网。