平行四边形教案
作为一名为他人授业解惑的教育工作者，总归要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。那么问题来了，教案应该怎么写？以下是小编为大家收集的平行四边形教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
平行四边形教案1
一、学习目标
１、经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
2、 会进行简单的多项式与多项式的乘法运算
二、学习过程
（一）自学导航
1、创设情境
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米，用两种方法表示这块林区现在的面积。
这块林区现在的长为 米，宽为 米。因而面积为________米2。
还可以把这块林地分为四小块，它们的面积分别为 米2， 米2，_______米2， 米2。故这块地的面积为 。
由于这两个算式表示的都是同一块地的面积，则有 =
如果把（m+n）看作一个整体，你还能用别的方法得到这个等式吗？
2、概括：
多项式乘以多项式的法则：
3、计算
（1） （2）
4、练一练
（1）
（二）合作攻关
1、某酒店的厨房进行改造，在厨房的中间设计一个准备台，要求四面的过道宽都为x米，已知厨房的长宽分别为8米和5米，用代数式表示该厨房过道的总面积。
2、解方程
（三）达标训练
1、填空题：
（1） = =
（2） = 。
2、计算
（1） （2）
（3） (4)
（四）提升
1、怎样进行多项式与多项式的乘法运算？
2、若 的乘积中不含 和 项，则a= b=
应用题
第三十五讲 应用题
在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．
当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：
在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．
例题求解
一、用数式模型解决应用题
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：
景点ABCDE
原价（元）1010152025
现价（元）55152530
平均日人数（千人）11232
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是 怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
思路点拨 （1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格： ，设整后的平均价格：
∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变．
∴平均日总收入持平．
（ 2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日总收入增加了
（3）游客的说法较能反映整体实际．
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界．
【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由．
思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．
(1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：
,解得：
(2)这栋楼最多有学生4×8×4 5=1440(名)．
拥挤时5min4道门能通过．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定．
三、用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．
【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m／s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m／s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：
日平均风速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日发电量 (千瓦?时)A型发电机O≥36≥150
B型发电机O≥24≥90
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦?时；
(2)已知A型风力发电机每台O.3万元，B型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦?时，请你提供符合条件的购机方案．
根据上面的数据回答：
思路点拨 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机(10—x)台,
解法一根据题意得：
解得5≤x ≤6．
故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电视4台．
四、用函数知识解决的应用题
函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．
【例4】 (扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：
①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；
②一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；
(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)
(2)设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．
思路点拨(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数100150
当月利润(单位：元)300390
(2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：
20×=2x(元)；其余10天可获利润：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 当x=200时，月利润y的最大值为440元．
注 根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．
另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
(2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用200 0元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工 程； C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?
思路点拨 这是一道策略优选问题．工程问题中：工作量=工作效率×工时．
(1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：
, x=30合题意，
所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．
(2)各种方案所需的费用分别为：
A．请甲队需2000×20=40000元；
B．请乙队需1400×30=4200元；
C．请甲、乙两队合作需(2000+1400)×12=40800元．
所队单独请甲队完成此项工程花钱最少．
【例6】 (2全国联赛初赛题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天?
思路点拨 挖掘题目中隐藏条件是关键!
设考察队到 生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
这里x、y是正整数，现设 法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．
为此，先求出①的一组特殊解(x0，y0)，(这里x0，y0可以是负整数)．用辗转相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
与①的左端比较可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合题意的解．
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t为整数．按题意0 ∴z=60—(x+y)=23． 答：考察队在生态区考察的天数是23天． 注 本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法． 【例7】 (江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于200元，则不予优惠； (2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折 优惠． 小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购 买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少? 思路点拨 应付198元购物款讨论： 第一次付款198元，可是所购物品的实价，未 享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论． 情形1 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元 ． 又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0. 8 =130(元)． 因此，554元所购物品的原价为130+500=630(元)，于是购买小呀花198 +630=828(元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）． 情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的讨论，，购220+630=850{元}物品一次性付款应为500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)． 综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元 【例8】 (2002年全国数学竞赛题)某项工程，如果由甲、乙两队承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2 天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少? 思路点拨 关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资．分两个层次考虑： 设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成． 则 ，解得 再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元， 则 ，解得 于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000 (元)． 由乙队单独承包，费用是29500×6= 177000 (元)． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 学历训练 （A级） 1．(河南)在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务．在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务．求加快速度后每天生产多少箱消毒液? 2．(山东省竞赛题)某市为鼓励节约用水，对自来水妁收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元／吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费，某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少?(自来水按整吨收费) 3．(江苏省竞赛题)甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题．试问：难题多还是容易题多?多的比少的多几道题? 4．某人从A地到B地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适? (提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少) （B级） 1．(全国初中数学竞赛题)江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机 台． 2．(希望杯)有一批影碟机(VCD)原售价：800元／台．甲商场用如下办法促销： 购买台数1~5台6~10台11~15台16~20台20台以上 每台价格760元720元680元640元600元 乙商场用如下办法促销：每次购买1~8台，每台打九折；每次购买9~16台，每台打八五折； 每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折． （1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表； (2)现在有A、B、C三个单位，且单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少? 3．(河北创新与知识应用竞赛题)某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币．请你据此设计兑换方案． 4．从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)，如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只踏—级)．问： (1)扶梯露在外面的部分有多少级? (2)如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯(不考虑扶梯与楼梯间距离)则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶? 5．某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种 含磷60％，钾40％，第二种含钾10％，氮90％；第三种含钾50％，磷20％，氮30％，现将三种肥混合成含氮45％的混合肥100?(每种肥都必须取)，试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围． 6．(黄冈竞赛题)有麦田5块A、B、C、D、E，它们的.产量，(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21-2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场．问建在哪快麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b < a 多边形的边角与对角线 j.Co M 第十四讲 多边形的边角与对角线 边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数 、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识． 多边形 的内角和定理反映出一定的规律性：(n－2)×180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360°是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧． 将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸 边形的一个顶点引出的对角线把 凸 边形分成 个多角形，凸n边形一共可引出 对角线． 例题求解 【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是 ． (江苏省竞赛题) 思路点拨 设除去的角为°，y°，多边形的边数 为 ，可建立关于x、y的不定方程；又0° 链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他 一些几何图形． 【例2】 在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为 外角为钝角的个数的探讨． 【例3】 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中直角)，并分别写出所拼四边形的对角线的长． (乌鲁木齐市中考题) 思路点拨 把动手操作与合情想象相结合 ，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形． 注 教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题． 本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解． 【例4】 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据下列图形，填写表中空格： (2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形? (3)从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面 图形?说明你的理由． (陕西省中考题) 思路点拨 本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形；②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性．假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360°，这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'． （1）图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一个五边形吗?说明理由． (2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位． (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三点分别共线；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圆的周长逼近估算． 1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 ?，周长最小的是 cm． (选6《荚国中小学数学课程标准》) 2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD的取值范围是 ． 4．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n个图案中有白色地面砖 块． (江西省中考题) 5．凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是( ) A．4 B．5 C． 6 D．7 ( “希望杯”邀请赛试题) 6．一个凸多边 形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( ) A．9条 B．8条 C．7条 D． 6条 7．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( ) A．216块 B．288块 C．384块 D．512块 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD． （1）)画出四边形ABCD； (2)求出四边形ABCD的对角线BD的长． (上海市闵行区中考题) 9．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度数． (北京市竞赛题) 10．如图，在五边形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的对边A3A4的中点，连结A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行． (安徽省中考题) 11．如图，凸四边形有 个；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ． (重庆市竞赛题) 12．如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它们的和等于 ；若延长凸n边形(n≥5)的各边相交，则得到的n个角的和等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 13．设有一个边长为1的正三角形，记作A1(图a)，将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2(图b)，再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(图c)；再将每条边三 等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么，A4的周长是 ；A4这个多边形的面积是原三角形面积的 倍． (全国初中数学联赛题) 14．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，则BC+DC= ． (北京市竞赛题) 15．在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( ) A．130° D．140° C ．105° D．120° 16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，则CD的长为( ) A．4 B．4 C．3 D． 3 (江苏省竞赛题) 注 按题中的方法'不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线或 科克曲线(瑞典数学家)，这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支． 17．如图，设∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α (山东省竞赛题) 18．平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°． 19．一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n． (上海市竞赛题) 20．如图，凸八边形ABCDEFGH的8 个内角都相等，边AB、BC、CD、DE、EF、FG的长分别为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． 21．如图l是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下(这里的A、B、C、D各点都是活动的)，活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来． 如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化? (淄博市中考题) 22．一个凸n边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸n边形各个内角的大小，并画出这样的 凸n边形的草图． 图形的平移与旋转 前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科． 几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换． 如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换． 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等． 如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角． 旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等． 通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决． 注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变． 例题求解 【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ． 思路点拨 通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形． 【例2】 如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线 段x、m、n为边长的三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变 思路点拨 把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、 x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可． 注 下列情形，常实施旋转变换： (1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°； (2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形； (3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 【例3】 如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求证：该六边形的各角相等． (全俄数学奥林匹克竞赛题) 思路点拨 设法将复杂的条件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换． 注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决． 【例4】 如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题) 思路点拨 本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中． 注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识： (1)两点间线段最短，垂线段最短； (2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【例5】 如图，等边△ABC的边长为 ，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关 键． 学历训练 1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ． 2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB ． 3．如图，四边形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为 ． 4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB= ，则此三角形移动的距离AA'是( ) A． B． C．l D． (2002年荆州市中考题) 5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF= S△ABC；④EF=AP． 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有( ) A．1个 B．2个 C ．3个 D．4个 (2003年江苏省苏州市中考题) 6．如图，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四边形ABCD d=8，则BE的长为( ) A．2 B．3 C ． D． (2004年武汉市选拔赛试题) 7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为 和 ，对角线BD、FH都在直线 上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线 上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化． (1)计算：O1D= ，O2F= ； (2)当中心O2在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ； (3)随着中心O2在直线 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题) 8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直 方向的边长均为b）： 在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）； 在图b中， 将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）； （1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ； （3）联想与探索： 如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的． (2002年河北省中考题) 9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM． 说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求： (1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)． (2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论． 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2． 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是 ． (绍兴市中考题) 12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( ) A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定 13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( ) A． B． C ．5 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题) 14．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：DE>DC． 15．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满 ，求△ABC的面积． 16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题) 17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕 点O顺时针旋转45°，得△A1BlC1 ，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ． (1)证明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形； (2)求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积． (山东省竞赛题) 18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值． (2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转， 当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a． (3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n边形的边被纸板覆盖部分 的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．掌握平行四边形的判定定理1、2、3、4，并能与性质定理、定义综合应用． 2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系． 3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理． （二）能力训练点 1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力． 2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力． （三）德育渗透点 通过一题多解激发学生的学习兴趣． （四）美育渗透点 通过学习，体会几何证明的方法美． 二、学法引导 构造逆命题，分析探索证明，启发讲解． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：平行四边形的判定定理1、2、3的应用． 2．教学难点：综合应用判定定理和性质定理． 3．疑点及解决办法：在综合应用判定定理及性质定理时，在什么条件下用判定定理，在什么条件下用性质定理（强调在求证平行四边形时用判定定理，在已知平行四边形时用性质定理）． 四、课时安排 2课时 五、教具学具准备 投影仪，投影胶片，常用画图工具 六、师生互动活动设计 复习引入，构造逆命题，画图分析，讨论证法，巩固应用． 七、教学步骤 【复习提问】 1．平行四边形有什么性质？学生回答教师板书 2．将以上性质定理分别用命题的形式叙述出来． 【引入新课】 用投影仪打出上述命题的逆命题． 上述第一个逆命题显然是正确的，因为它就是平行四边形的定义，所以它也是我们判定一个四边形是否为平行四边形的基本方法（定义法）． 那么其它逆命题是否正确呢？如果正确就可得到另外的判定方法（写出命题）． 【讲解新课】 1．平行四边形的判定 我们知道，平行四边形的对角相等，反过来对角相等的四边形是平行四边形吗？ 如图1，在四边形中，如果，那么． ∴． 同理． ∴四边形是平行四边形，因此得到： 平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 类似地，我们还会想到，两组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如图1，如果，，连结，则△ ≌△得到，，那么，，则四边形是平行四边形． 由此得到： 平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法，即根据题设和已有知识，经过推理得出结论，然后总结成定理）． 我们再来证明下面定理 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （该定理采用规范证法，如图1由学生自己证明，教师可引导学生用前面三种依据分别证明，借以巩固所学知识） 2．判定定理与性质定理的区别与联系 判定定理1、2、3分别是相应性质定理的逆定理，彼此之间分别为互逆定理，在使用时不得混淆． 例1已知：是对角线上两点，并且，如右图． 求证：四边形是平行四边形． 分析：因为四边形是平行四边形，所以对边平行且相等，由已知易证出两组三角形全等，用定义或判定定理1、2都可以，还可以连结交于利用判定定理3简单． 证明：（由学生用各种方法证明，可以巩固所学过的知识和作辅助线的方法，并比较各种证法的`优劣，从而获得证题的技巧）． 【总结、扩展】 1．小结：（投影打出） （1）本堂课所讲的判定定理有 （2）在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新的知识． 2．思考题 教材P144B．3 八、布置作业 教材P142中7；P143中8、9、10 九、板书设计 xxx 十、随堂练习 教材P138中1、2 补充 1．下列给出了四边形中、 、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（） A．1：2：3：4 B．2：2：3：3 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2 2．在下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（） A．，B．， C．，D．， 3．已知：在中，点、在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 1、本单元教材内容 例1．认识同一平面内两条直线的特殊位置关系：平行和垂直。 例2．学习画垂线，认识点到直线的距离。 例3．学习画平行线，理解平行线之间的距离处处相等。 例1．把四边形分类，概括出平行四边形和梯形的特征，探讨平行四边形和长方形、正方形的关系。 例2．认识平行四边形的不稳定性，认识平行四边形的底和高，学习画高，梯形的`各部分名称。 2、重难点、关键 重点：垂直与平行的概念；平行四边形和梯形的特征。 难点：画垂线、画平行线、画长方形和正方形、画平行四边形和梯形的高。 关键：加强作图的训练和指导，重视作图能力的培养。 3、教学目标 （1）使学生理解垂直与平行的概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线。 （2）使学生掌握平行四边形和梯形的特征。 （3）通过多种活动使学生逐步形成空间观念，进一步体会几何图形在日常生活中的广泛应用。 4、课时划分 6课时 （1）垂直与平行 3课时左右 （2）平行四边形和梯形 3课时左右 教学目标 1.能够从图中全面感知平行四边形现象，体会平行四边形在生活情景中的存在。, 2.通过观察、操作等活动，认识平行四边形的一些特征。 3.经历探索平行四边形的过程，了解它的基本特征，进一步发展空间观念。 教学重点 通过观察、操作等活动，认识平行四边形的一些特征 教学难点 经历探索平行四边形的过程，了解它的基本特征 教学过程 激发兴趣 一、（出示主题图） 我们已经认识了平行四边形，请同学们仔细 观察主题图，图中都有些什么物体，这些物体 都反映出一些什么现象？ 这些现象正是我们本单元所要研究和学习 的平行四边形。（板书课题） 仔细观察 小组活动 探索、感知 探索新知 1．拉一拉。 师：拿出你们准备的长方形木框，用手捏住相对的两个角，向相反的方向拉动，边拉动，边观察你有什么发现？与原来的.长方形有什么相同和不同？ 生：可以拉成不一样的平行四边形。…… 师：说明平行四边形易变形。（板书：易变形） 2．画一画，比一比 。 （拉到一定的位置不变）师将拉成的平行四边形画在黑板上。学生将拉成的平行四边形画在纸上。 观察平行四边形，你发现了什么？ 生：相对的两条边互相平行…… 抽生演示测量两组对边分别平行。 师课件演示两组对边分别平行。 师小结：两组对边分别平行平行的四边形叫做平行四边形。 3．量一量，填一填，说一说。 师：先给平行四边形的边和角编上号。每位同学都用直尺量一量平行四边形的四条边，用三角板量一量四个角，然后填表。 长边 长边 短边 短边 边 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 角 观察表格，你有什么发现？ 将自己的发现在小组交流，然后讨论平行四边形都有哪些特点？作好记录。 全班汇报。你们组发现了平行四边形都有哪些特点？ 师：几组同学的汇报都有哪些相同的地方？你们有吗？ 平行四边形都有哪些特征？ 总结：1.两组对边分别相等。2.两组对角分别相等。 3.四个内角的和是360 学生操作 抽生汇报 先独立思考，在小组讨论。 独立观察后，同桌交流。然后全班交流。 学生操作，先拉平行四边形，再画。 独立观察 小组交流 抽生汇报 学生发言，其余注意倾听。 独立思考，汇报。 1组：我们发现左右两边的长都是……，上下两边的长都是…… 一组对角都是……，另一组对角都是…… 2组：…… 课堂小结 今天这节课我们学习了些什么？你都有哪些收获？ 【知识目标】 1、掌握平行四边形有关概念； 2、在动手操作实践的过程中，探索并掌握平行四边形的性质。 【能力目标】 1、通过探索与证明平行四边形的性质，发展演绎推理的能力； 2、在证明平行四边形的性质的过程中，体会将平行四边形问题为三角形问题的转化思想． 【情感态度与价值观】 在进行探索的活动过程中发展合作交流的意识． 【数学核心素养目标】 1、通过操作活动，在发现平行四边形的性质的过程中培养直观想象的数学素养； 2、通过对性质的证明，进一步提升逻辑推理的数学核心素养． 教材 分析 重点 掌握平行四边形的概念与性质 难点 对平行四边形性质的探究与证明 教学方法 引导类比、鼓励操作、启发推理 学法指导 探索发现、猜想证明、迁移应用 教学过程 一、引入新课 PPT呈现：类比是伟大的引路人，转化是智慧的思想家． 几何学习，是一场充满挑战与惊喜的旅行，老师很荣幸今天能和在座的同学们继续我的平面几何之旅． 回顾我们学过的平面图形： 直线、射线、线段角三角形？ 同学们推测一下，接着我们会研究那种平面图形？四边形 我们就从生活中常见的一类特殊的四边形——平行四边形研究起． 你能举出一些生活中常见的平行四边形实例吗？ 地砖、推拉门、活动衣架、窗格…… 二、实践探究 1、平行四边形的相关概念 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形． D C A B 如图： 学生活动：邀请学生指导老师画两组分别平行的线段，并上黑板协助老师画图，从而得到平行四边形． 平行四边形的符号表示：ABCD，读作“平行四边形ABCD” （注意表示时，四个顶点A、B、C、D的书写顺序只能按顺时针方向或逆时针方向） 边、对边、邻边；角、对角、邻角 对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线． ABCD的对角线有两条：AC、BD 2、平行四边形是中心对称图形 活动：利用平行四边形纸片探索平行四边形的性质 活动方式：同桌或四人小组合作、讨论交流． 教具：画好平行四边形的彩纸、透明纸各一张、图钉一枚． 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心． 3、平行四边形的性质 性质1：平行四边形的对边相等． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形． 因为四边形ABCD是平行四边形 所以∠A=∠C，∠B=∠D 求证：AB=CD，BC=DA． 证明：连接AC 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义） 所以∠1=∠2，∠3=∠4 在△ABC与△CDA中： 所以（ASA） 所以AB=CD，BC=DA 几何语言： 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB=CD，BC=DA 性质2：平行四边形的对角相等． 几何语言： 因为四边形ABCD是平行四边形 所以∠A=∠C，∠B=∠D 三、应用迁移 【例题探究，夯实基础】 例：已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。 求证： 证明：因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB=CD（平行四边形的对边相等） AB∥CD（平行四边形的定义） 所以∠BAE=∠DCF 在12鈭咥BE/与12鈭咰DF/中： 因为 所以（SAS） 所以BE=DF 【例题变式，灵活思维】 变式1：已知：如图，在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE∥DF。 求证： 变式2：已知：如图，在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且BE平分∠ABC，DF平分∠ADC． 求证： 变式1图变式2图 【接龙练习，巩固迁移】 1、如图，四边形ABCD是平行四边形， 若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______； 若AB=4，AD=5，则BC=__________，CD=________。 第1题图第2题图 2、如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的三个顶点为A（0，0）、B（4，0）、D（1，2），则顶点C的坐标是_____________。 3、小强用30米的`铁丝围成一个平行四边形的场地（不计接口长度），其中一条边长是10米，则与这条边相邻的边的长度是________米． 4、如图，在□ABCD中，若BE平分∠ABC，则ED＝． 5、如图，在□ABCD中，AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，∠AMB____。 第4题图第5题图 【游戏设计，拓展提升】 四位同学玩传球游戏，三位同学已经站好位置，要求以这四位同学所占位置为顶点，组成平行四边形，请问第四位同学应该站在哪里？ 解：如图，第四位同学可以站在P、Q、M这三个位置． 四、本课总结 知识：平行四边形的概念与性质 探究方法与思想：类比探究，转化思想 五、作业布置 必做题：课本P1372、3、4题． 选做题：将【游戏设计，拓展提升】部分的问题整理在好题本“分类讨论”这一问题中． 设计意图 提醒并渗透“类比的方法、转化的思想”． 提醒学生本节课是几何探究课程． 本节课是《平行四边形》这一章的章起始课，促使学生对平面图形的学习进行系统性的认识． 小学已经感知上认识了平行四边形，由学生主动举生活中平行四边形的实例，感受数学源于生活而服务于生活，同时逐渐调动学生主动思考，为接下来的探究热身． 突出学生课堂主体的地位，加深对平行四边形定义的认识． 突出重点： 1、学生通过观察、动手操作，经历平行四边形性质的探索和发现过程，发展合作交流的意识，提升探究能力； 2、在动手操作额过程中，发现并验证了平行四边形是中心对称图形； 3、使学生发现平行四边形中有关元素之间的相等关系，获得平行四边形有关性质的猜想． 突破难点： 1、学生探索猜想性质是合情推理，而规范证明则是演绎推理，通过规范的几何证明，提升学生的推理论证能力． 2、转化思想：将四边形问题转化为三角形问题来研究． 1、引导学生探索并展示多种证明方法． 2、激励学生分析、解决问题的热情，进一步提升推理论证的能力． 本例是对所学的平行四边形性质定理的简单应用。教学时让学生先独立思考，再组织学生进行交流。鼓励学生充分表达他们寻求证明思路的过程。 这两个问题是对例题条件进行变化，结论不变，以促进学生对平行四边形性质的熟练掌握与灵活运用． 1、这组练习的设计，层层递进，由浅入深，可有效地开发各层次学生的潜能及上进心，实现分类推进的教学思想． 2、第4题引导学生发现平行四边形一条角平分线可以构造出等腰三角形； 3、第5题引导学生发现平行四边形两个邻角的角平分线可以构造出直角三角形三角形． （此问题根据实际授课情况，可删减） 1、游戏情境，激发学生兴趣； 2、此问题有三种情况，体现分类讨论的思想，促进学生思考问题的全面性； 1、作业一部分是必做题，体现新课标下落实“学有价值的数学”，达到“人人都能获得必需数学”，另一部分是选做题，让“不同的人在数学上得到不同的发展”． 2、选做部分为了促进学生养成分类梳理数学问题的习惯． 一 教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二 重点、难点 1．重点：平行四边形的判定方法及应用． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 3．难点的突破方法： 平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的． （1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的.逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明． （2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意： ①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充； ②本节课只介绍前两个判定方法． （3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法． 然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件． 在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力． （4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求． （5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题． （6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识． 三 例题的意图分析 本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由． 四 课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？ 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？ 让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： （1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？ （4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？ （5）你还能找出其他方法吗？ 从探究中得到： 平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形 教学内容： 义务教育课程标准实验教科书苏教版一年级下册19～21页。 教材简析： 1．紧密联系学生已有经验，通过丰富的学习活动，帮助学生直观认识常见的平面图形。教材通过折正方形纸，让学生直观认识三角形，把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，直观地认识平行四边形。这样安排，既符合低年级学生的认知特点，也有利于他们主动地认识平面图形。 2．把图形的变换，图形间的联系放在重要位置。教材只要求学生直观认识三角形、平行四边形，没有深入研究它们的特征。但是教材安排了许多折、剪、拼的活动，比较多地将一种图形变换成另一种图形。这些操作活动，能使学生感受图形之间的联系，有利于培养学生空间观念和解决问题的能力，有利于发展学生的数学思维。 3．教材设计了一些开放性问题，如在钉子板上围三角形、平行四边形，围成的这些图形可以有大有小，有不同的位置，用一个长方形剪成两个完全一样的三角形拼一拼，可以拼成多种图形。这些题能激起学生独立探索的精神，相互合作的愿望，有利于改善教学方式，培养学生的创新意识。 教学目标： 1．通过把长方形成或正方形折、剪、拼等活动，直观认识三角形和平行四边形，知道三角形和平行四边形的名称，并能识别三角形、平行四边形，初步了解三角形、平行四边形在日常生活中的应用。 2．在折图形、剪图形、摆图形、拼图形等活动中，使学生体会图形的变换，发展对图形的空间想像能力。 3．使学生在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学的交往、合作的意识。 教学重点与难点：从三角形、平行四边形实物中抽象出平面图形，并让学生正确认识它们。 教具准备：长方形、正方形纸各一张，不同形状的三角形、平行四边形若干个，剪刀一把，钉子板和20页上半页的图片。 学具准备：长方形纸、正分形纸、直角三角形纸若干张、剪刀、学具盒。 教学过程： 一、游戏激趣，创设情境 小朋友，你们喜欢折纸吗?你们想折吗？今天老师就和你们一起玩折纸游戏好吗? 二、动手操作，探索新知 1．折一折，认识三角形 (1)教师手中拿的是什么图形的纸?(正方形纸)请小朋友们拿出和老师手中一样的正方形纸，你能把这张正方形的纸对折成完全一样的两部分吗?(教师巡视，如有学生对对折不理解要及时指导。) (2)展示成果。 哪位小朋友愿意上来说一说你是怎样折的? ①对折成两个完全一样的长方形。（这是我们已经认识的) ②对折两个完全一样的三角形。(贴出图形)问：这是什么图形?(板书：三角形) ③让所有小朋友用正方形纸折出两个完全一样的三角形。用小手摸一摸折出的三角形的面，再沿着这个三角形的边画一画，然后拿走折纸剩下△，让学生闭上眼睛想一想三角形的样子，并用手书空画出来。 [评析：让学生建立图形表象是教学的重点，教者通过折、摸、画、想、手书空画等系列活动，使学生对三角形有了初步的空间表象，可谓水到渠成。] (3)认识不同形状的三角形。 分别出示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形，让学生认一认，说明这些都叫三角形，让学生记住它们的样子。 (4)认识生活中的三角形。 在我们的生活中有哪些物体的面是三角形的? 同桌互相说一说，然后在全班交流。当学生说到红领巾、三角尺等身边有的物体时，让学生摸着红领巾、三角尺的面说：红领巾的面是三角形的，三角尺的面是三角形的。 (5)在钉字板上围三角形。 你们知道了身边有许多物体的面是三角形的，你们能在钉字板上围出一个三角形吗?各自围一围，同桌相互展示(如有困难，相互帮助)。然后在全班展示出不同形状的三角形。 (6)摆三角形。 你们能用6根同样长的小棒摆出一个三角形吗?摆好后小组相互评一评，推选出优秀代表展示。 (7)我们能用正方形纸对折成两个一样的三角形，一张长方形的纸，你也能折成的两个完全一样的三角形吗?拿出长方形纸折一折，比一比谁最聪明。 [评析：学生初步认识三角形后，让学生了解生活中也有三角形的存在，激发学生学习三角形的兴趣，再让学生在钉子板上围三角形、用小棒摆三角形、用长方形纸折三角形，既体现了具体到抽象的认知规律，又能循序渐进、层层深入地让学生认知三角形，了解三角形。] 2．剪一剪、拼一拼，认识平行四边形 (1)请小朋友们用剪刀把折成两个完全一样的三角形剪下来(师生同剪)。 你能用剪下来的两个完全一样的三角形拼出不一样的'图形吗? 动手拼一拼，把拼成的不同图形贴在黑板上(可能拼出长方形、三角形、平行四边形)。 教师指着平行四边形问：你们认识它吗?它叫什么图形?让所有的小朋友都来拼一个平行四边形。 (2)出示各种平行四边形，让学生认一认，并沿着它们的边画在黑板上，让学生认一认，记一记它们的样子。 (3)找平行四边形。 出示楼梯图片，让学生找一找图中的平行四边形，并用小手指一指，再让全班小朋友打开课本22页，同桌互相找一找篱笆、扶手图片中的平行四边形，比一比看谁找得多。 (4)围平行四边形。 在钉子板上你们能围出平行四边形吗?动手围一围，同桌相互检查，相互帮助，再指名上台来围给大家看一看。 (5)摆平行四边形。 小朋友们围得真好，你们会用6根同样长的小棒摆出一个平行四边形吗?在书上第44页方格纸上画一画，选择几幅展示。 [评析：用学习三角形的方法学习平行四边形，有利于学生的知识迁移，起着潜移默化的作用，让学生主动探索新知，发展学生的思维能力。] 三、游戏巩固，拓展提高 1．想想做做第4题 用两个完全一样的三角形能拼成几个不同形状的平行四边形?动手拼一拼，展示不同形状的平行四边形。 2．想想做做第5题 先让学生自由拼一拼，也可以小组讨论，把不同拼法贴到黑板上，再让学生认一认，记一记。 四、全课总结，课外延伸 我们刚才拼出了许多形状的图形，下课后拼给同学看一看，回家后拼给爸爸妈妈看一看，好吗? [总评：本课始终以操作为主线，面向全体，全员参与，让学生通过操作思考，小组讨论，主动探索新知识，充分体现了以学生为本，教师为组织者、引导者和合作者，使学生在玩中学，学中玩。既活跃了学生的思维，又调动了他们学习的积极性和主动性。让学生动手、动脑、动口，多种感官参与，教师又以比比谁最聪明看谁找得多等激励性的语言，调动学生学习的兴趣，使每位学生在学习过程中都有不同程度的发展。] 教学目标 1、巩固平行四边形的面积计算公式，能比较熟练地运用平行四边形面积的计算公式解答有关应用题。 2、养成良好的审题习惯。 教学重点 运用所学知识解答有关平行四边形面积的应用题。 教学难点 运用所学知识解答有关平行四边形面积的应用题。 教学准备 三角板，直尺等。 教学过程 一、基本练习 1.口算。 4.9÷0.7 5.4＋2.6 4×0.25 0.87－0.49 530＋270 3.5×0.2 542－98 6÷12 2.平行四边形的面积是什么？它是怎样推导出来的？ 3.口算下面各平行四边形的面积 ⑴底12米，高7米； ⑵高13分米，第6分米； ⑶底2.5厘米，高4厘米 二、指导练习 1．补充题：一块平行四边形的麦地底长250米，高是78米，它的面积是多少平方米？ ⑴生独立列式解答，集体订正。 ⑵如果问题改为：“每公顷可收小麦7000千克，这块地共可收小麦多少千克？ ①必须知道哪两个条件？ ②生独立列式，集体讲评：先求这块地的面积：250×780÷10000＝1.95公顷, 再求共收小麦多少千克：7000×1.95＝13650千克 ⑶如果问题改为：“一共可收小麦58500千克，平均每公顷可收小麦多少千克?”又该怎样想？与⑵比较，从数量关系上看，什么相同？什么不同？ 讨论归纳后，生自己列式解答：58500÷（250×78÷1000） ⑷小结：上述几题，我们根据一题多变的.练习，尤其是变式后的两道题，都是要先求面积，再变换成地积后才能进入下一环节，否则就会出问题。 三、巩固练习 1.测量右图中平行四边形的一条底边和它对应的高， 并计算它们的面积。 2.分别计算图中每个平行四边形的面积， 你发现了什么？（单位：㎝） 四、总结全课 通过本节课的练习，你有什么收获？你还有哪些疑难问题？ 五、作业 优化作业。 学习目标 1、 理解平行四边形的概念及其特征，知道平行四边形两组对边分别平行且相等。 2、认识平行四边形的底和高，会画出平行四边形的高； 3、培养学生的实践能力，观察能力和分析能力。 学习重点： 掌握平行四边形的特征。 学习难点： 会画平行四边形的高。 学习准备： 课件、长方形框架、平行四边形纸、钉板 导学过程： 一、魔术表演： 教师拿出一个用四根木条钉成的长方形，两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，观察两组对边有什么变化？拉成了什么图形？为什么会发生这样的.变化？ 二、揭示课题和目标。 三、体验平行四边形的特性 1、揭示平行四边形的不稳定性； 2、你能举出日常生活中应用平行四边形容易变形这一性质的例子吗？ 3、图片展示。 四、探究平行四边形的特征 （一）观察图形，合理猜想 请学生拿出手里的平行四边形纸，让学生大胆猜平行四边形的特征。学生发言。 （二）动手操作，验证猜想 1、操作实践。教师提示用三角板或者直尺验证。学生小组验证。 2、汇报交流验证的过程。 预设：1、测量后发现对边相等 2、延长对边不相交，所以对边平行 3、用画垂线的方法，从一边向另一边画垂线，垂线段都相等，所以对边平行。 3、归纳特征。 师：现在请你用一句话概括平行四边形的特征。生用自己的语言描述。 教师帮助归纳并板书：两组对边分别平行且相等 4、应用做教材67页1题。 五、动手操作，认识“底和高”： 1、观察画出的垂直线段，告诉学生： 像这样从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫平行四边形的底。 2、请学生猜猜，平行四边形有多少条高？ 3、揭示平行四边形高的画法 4、练习：画出四个平行四边形的高。 五、智慧屋（练习题） 六、全课总结：通过本节课的学习，你知道了平行四边形的哪些东西呢？ 教学目标： 1.经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯; 2.索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用; 3.在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学准备：多媒体课件 教学过程 第一环节：实践探索，直观感知(5分钟，动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。) 1.小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 (1)你拼出了怎样的四边形?与同桌交流一下; (2)给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系?说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 2.小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢?你能举例说明吗? 第二环节探索归纳、合作交流(5分钟，学生动手、动嘴，全班交流) 小组活动3： 用一张半透明的`纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形重合吗?由此你能得到哪些结论?四边形的对边、对角分别有什么关系?能用别的方法验证你的结论吗? (1)让学生动手操作、复制、旋转、观察、分析; (2)学生交流、议论; (3)教师利用多媒体展示实践的过程。 第三环节推理论证、感悟升华(10分钟，学生通过说理，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质。) 实践探索内容 (1)通过剪纸，拼纸片，及旋转，可以观察到平行四边行的对角线把它分成的两个三角形全等。 (2)可以通过推理来证明这个结论，如图连结AC。 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC，AB//CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ABC和△CDA中 ∠2=∠1 AC=CA ∠3=∠4 ∴△ABC≌△CDA(ASA) ∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B 又∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠BAD=∠DCB 第四环节应用巩固深化提高(10分钟，通过议一议，练一练，学生进一步理解平行四边形的性质，并进行简单合情推理，体现性质的应用，同时从不同角度平移、旋转等再一次认识平行四边形的本质特征。) 1.活动内容： (1)议一议：如果已知平行四边形的一个内角度数，能确定其它三个内角的度数吗? A(学生思考、议论) B总结归纳：可以确定其它三个内角的度数。 由平行四边形对边分边平行得到邻角互补;又由于平行四边形对角相等，由此已知平行四边形的一个内角的度数，可以确定其它三个角度数。 (2)练一练(P99随堂练习) 练1如图：四边形ABCD是平行四边形。 (1)求∠ADC、∠BCD度数 (2)边AB、BC的度数、长度。 练2四边形ABCD是平行四边形 (1)它的四条边中哪些线段可以通过平移相到得到? (2)设对角线AC、BD交于O;AO与OC、BO与OD有何关系?说说理由。 归纳：平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分。 第五环节评价反思概括总结(8分钟，学生踊跃谈感受和收获) 活动内容 师生相互交流、反思、总结。 (1)经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获?给自己一个评价。 (2)在与同伴合作交流中练表现，优秀方面有哪些?你看到同伴哪些优点? (3)本节学习到了什么?(知识上、方法上) 考一考： 1.ABCD中，∠B=60°，则∠A=，∠C=，∠D=。 2.ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C=。 3.ABCD中，AB=3，BC=5，则AD=CD=。 4.ABCD中，周长为40cm，△ABC周长为25，则对角线AC=()cm。 布置作业 课本习题4.1 A组(学优生)1、2 B组(中等生)1、2 C组(后三分之一生)1、2 [教学目标] 1、知识与技能 直观地认识平行四边形 学会从各种平面图或实物中辨认平行四边形 培养初步的观察能力，空间观念和动手能力。 2、过程与方法 让学生在观察、操作、合作交流中探索新知 3、情感态度与价值观 渗透事物之间相互联系及转化的辩证唯物主义思想。 [教学重点] 引导学生直观的认识平行四边形 [教学难点] 引导学生通过直观感知抽象出平行四边形。 [教学关键] 在教学过程中，尽可能为学生提供观察、操作的机会，丰富学生的感性认识，使学生的感性认识升华为理性认识。 [教学方法] 演示法、观察法、操作法等。 [教具准备] 多媒体课件、可拉动的长方形框架、钉子板，方格纸 [学具准备] 可拉动的长方形框架，一张长方形的纸。 [教学过程] 一、复习引入 游戏引入（出示课件） 以“七个小矮人”中的开心果讲游戏规则，老师先发一些基本图形给学生，有三角形、圆形、长方形、正方形、平行四边形等，叫到什么图形的时候，大一部分同学就起立把图形举高让大家看，最后，只剩下平行四边形没有叫着，揭示课题：今天我们就来认识这一种新的四边形。 板书课题：平行四边形 二、探索新知 1、观察感知（课件展示） 教学例1：课件出示生活中的实物图形，引导学生观察在观察的基础上进行小组交流讨论，这些图形都有什么共同点？ 交流抽象：在小组讨论的基础上进行全班交流，教师引导学生观察发现：以上的图形都含有，指出这种图形就是我们今天要认识的平行四边形，课件出示平行四边形的'图和文字。 2、操作感知 教学例2 拉一拉： ⑴你能把长方形变成平行四边形吗？你是怎样变的？捏住长方形的两个对角，向相反的方向拉动，这样就变成了一个平行四边形。在学生独立操作、感知的基础上进行小组合作、交流：长方形有什么变化？ 全班交流时引导学生发现：通过拉动长方形框架使它变成了平行四边形，在拉动的过程中，四条边的长短不变，所以平行四边形的对边相等；四个角变了，原来是四个直角，拉成平行四边形后，四个角分别变成了两个锐角和两个钝角。 ⑵说一说，长方形和平行四边形有什么区别？（长方形的四个角都是直角，平行四边形的角不是。初步理解长方形是一种特殊的平行四边形） ⑶说一说平行四边形有什么特点？ 平行四边形有四条边，对边相等，有四个角，对角相等。 三、动手实践 1、围一围： 你能根据平行四边形的特点，在钉子板上围一个平行四边形吗？试试看 2、涂一涂： 把下面的图形是平行四边形的涂上自己喜欢的颜色（106页课堂活动的第2题） 3、剪一剪 ⑴请在长方形纸上剪出一个平行四边形。（注意先要照着书上的方法，对折，再对折，然后把其中的两个长方形再对折，剪去其中的一个三角形。教师要引导学生怎样折纸） 四、知识拓展 让学生用七巧板拼摆出自己喜欢的各种图形，发展他们的创新思维和求异思维，同时也培养学生的空间观念。 五、全课小结 通过我们的观察、动手操作、小组合作等，我们已经知道了平行四边形的奥秘，你有什么收获？还有什么不懂得地方？ 其实生活中无处不有我们的数学问题，只要我们做生活的有心人，你就会真正成为数学和生活的主人？ [板书设计] 平行四边形 有四条边，对边相等 有四个角，对角相等 教学目标设计： 1、激发主动探索数学问题的兴趣，经历平行四边形面积计算公式的推导过程，会运用公式求平行四边形的面积。 2、体会“等积变形”和“转化”的数学思想和方法，发展空间观念。 3、培养初步的推理能力和合作意识，以及解决实际问题的能力。 教学重点：探究平行四边形的面积公式 教学难点：理解平行四边形的面积计算公式的推导过程 教学过程设计： 一、创设情境，激发矛盾 拿出一个长方形框架，提问：这个框架所围成图形的面积你会求吗？你是怎样想的？根据学生的回答，适时板书：长方形面积=长×宽 教师捏住两角轻微拉动长方形框架，使它稍微变形成一个平行四边形。提问：它围成的图形面积你会求吗？你是怎样想的？根据学生的回答，适时板书：平行四边形面积=底边长×邻边长 学情预设：学生充分发表自己的看法，大多数学生会受以前知识经验和教师刚才设问的影响，认为平行四边形的面积等于底边长×邻边长。 教师继续拉动平行四边形框架，使变形后的平行四边形越来越扁，到最后拉成一个很扁的平行四边形，提问：这些平行四边形的面积也等于底 边长×邻边长吗？ 今天这节课我们就来研究“平行四边形的面积”。教师板书课题。 学情预设：随着教师继续拉动的平行四边形越来越扁的变化，学生的原有知识经验体系开始坍塌。这种认知平衡一旦被打破，学生的思维就想开了闸的洪水一样一发不可收拾：为什么用底边长乘邻边长不能解决平行四边形面积是多少问题？问题出在哪里呢？ 二、另辟蹊径，探究新知 1、寻找根源，另辟蹊径 教师边演示长方形渐变平行四边形的过程，边引导学生思考：平行四边形为什么不能用长方形的长与宽演变而来的底边长与邻边长相乘来求面积呢？ 引导学生思考：原来是平行四边形的面积变得越来越小了，那平行四边形的面积到底与什么有关呢？该怎样来求平行四边形的面积呢？ 学情预设：学生在教师的引导下发现，在教师的操作过程中，底边与邻边的长没有发生变化，也就是说，底边长与邻边长相乘的积应该也是不变的，但明显的事实是学生看到了平行四边形在越拉越扁，平行四边形的面积在越变越小。看来此路不通，那又该在哪里找出路呢？ 2、适时引导，自主探索 教师结合刚才的板书引导学生发现，我们已经会计算长方形的面积了，是否能把平行四边形转化成长方形来求面积呢？ （1）学生操作 学生动手实践，寻求方法。 学情预设：学生可能会有三种方法出现。 第一种是沿着平行四边形的顶点做的高剪开，通过平移，拼出长方形。 第二种是沿着平行四边形中间任意一高剪开。 第三种是沿平行四边形两端的两个顶点做的高剪开，把剪下来的两个小直角三角形拼成一个长方形，再和剪后得出的长方形拼成一个长方形。 （2）观察比较 刚才同学们把平行四边形转化成长方形，在操作时有一个共同点，是什么呢？为什么要这样呢？ （3）课件演示 是不是任意一个平行四边形都能转化成一个长方形呢？请同学们仔细观察大屏幕，让我们再来体会一下。 3、公式推导，形成模型 既然我们可以把一个平行四边形转化成一个长方形，那么转化前的平行四边形究竟和转化后的长方形有怎样的联系呢？怎样能想出平行四边形的面积怎么计算呢？ 先独立思考，后小组合作、讨论，如小组有困难，可提供“思考提示”。 A、拼成的长方形和原来的平行四边形比，什么变了？什么没有改变？ B、拼成的长方形的长和宽与原来的平行四边形的底和高有什么关系？ C、你能根据长方形面积计算公式推导出平行四边形的面积计算公式吗？） 学情预设：学生通过讨论很快就能得出拼成的长方形和原来的平行四边形之间的关系，并据此推导出平行四边形的面积计算公式。在此环节中，教师要引导学生尽量用完整、条理的语言表达其推导思路：“把一个平行四边形转化成为一个长方形，它的面积与原来的'平行四边形的面积相等。这个长方形的长与平行四边形的底相等，这个长方形的宽与平行四边形的高相等，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。”并将公式板书如下： 长方形的面积 = 长 × 宽 平行四边形的面积 = 底 × 高 4、变化对比，加深理解 引导学生比较前后两种变化情况，思考：第一次的长方形变成平行四边形与第二次的平行四边形变成长方形，这两种情况有什么不一样？哪种变化能说明平行四边形的面积计算方法的来源呢？为什么？ 5、自学字母公式，体会作用 请同学们打开课本第81页，告诉老师，如果用字母表示平行四边形的 面积计算公式，应该怎样表示？你觉得用字母表达式比文字表达式好在哪里？ 三、实践应用 1、出示课本第82页题目，一个平行四边形的停车位底边长5m，高2.5m，它的面积是多少？（学生独立列式解答，并说出列式的根据） 2、看图口述平行四边形的面积。 3分米 2.5厘米 3、这个平行四边形的面积你会求吗？你是怎样想的？ 4、分别计算图中每个平行四边形的面积，你发现了什么？（单位：厘米）这样的平行四边形还能再画多少个？ 教学内容： 义务教育六年制小学《数学》第九册P64-P66 教学目的： 1、让学生知道平行四边形面积公式的推导过程，掌握平行四边形面积的计算公式，并能应用公式正确地计算平行四边形面积，数学教案－平行四边形面积计算。 2、通过操作、观察与比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力。 3、使学生初步感受到事物是相互联系的，在一定条件下可以相互转化。 4、培养学生自主学习的能力。 教学重点： 掌握平行四边形面积公式。 教学难点： 平行四边形面积公式的推导过程。 教具、学具准备： 1、多媒体计算机及课件； 2、投影仪； 3、硬纸板做成的可拉动的长方形框架； 4、每个学生5张平行四边形硬纸片及剪刀一把。 教学过程： 一、复习导入： 1、我们认识的平面几何图形有哪些呢？（微机出示，图形略） 2、在这几个图形中你们会求哪几个的面积呢？（微机出示长方形和正方形的面积公式） 3、大家想不想知道其他几个图形的面积怎么求呢？我们这个单元就来学习“多边形面积的计算”。 二、质疑引新： 1、老师知道同学们都很喜欢流氓兔，今天流氓兔遇到了一个难题，我们一起来帮它解决好不好？ 2、微机显示动画故事：有一天，流氓兔在跑步的时候，遇到了一个长方形框架，它不小心踹了一脚，把长方形变成了平行四边形，流氓兔很奇怪：形状改变了，面积改变了吗？ 3、演示教具：将硬纸板做成的长方形框架，拉动其一角，变为平行四边形。 4、解决这个问题最好的办法就是将两个图形的面积都求出来进行比较，长方形的面积我们会求了，平行四边形的面积要怎么求呢？这节可我们就一起来学习平行四边形面积的计算。（板书课题：平行四边形面积的计算） 三、引导探求： （一）、复习铺垫： 1、什么图形是平行四边形呢？ 2、拿出一个准备好的平行四边形，找找它的底和高，并把高画下来，比比看谁画得多。 3、微机显示并小结：平行四边形可以作无数条高，以不同的边为底对应的高是不同的。 （二）、推导公式： 1、小小魔术师：我们现在来做一个变一变的小游戏（微机显示一个不规则图形），我们可以直接用所学过的求面积公式来求它的面积吗？ 2、能不能把它转化成我们学过的图形呢？（用割补法转化为长方形） 3、能不能用同样的方法把一个平行四边形转化成长方形呢？请同学们拿出准备好的多个平行四边形纸片及剪刀，自己动手，运用所学过的割补法将平行四边形转化为长方形。 4、学生实验操作，教师巡视指导。 5、学生交流实验情况： ⑴、谁愿意把你的转化方法说给大家听呢？请上台来交流！（用投影仪演示剪拼过程） ⑵、有没有不同的剪拼方法？（继续请同学演示）。 ⑶、微机演示各种转化方法。 6、归纳总结规律： 沿着平行四边形的任意一条高剪开，都可以通过平移把平行四边形拼合成一个长方形。并引导学生形成以下概念： ⑴、平行四边形剪拼成长方形后，什么变了？什么没变？ ⑵、剪拼成的长方形的长与宽分别与平行四边形的底和高有什么关系？ ⑶、剪样成的图形面积怎样计算？得出： 因为：平行四边形的面积=长方形的面积=长×宽=底×高 所以：平行四边形的面积=底×高 （板书平行四边形面积推导过程） 7、文字公式不方便，我们一起来学习用字母公式表示，如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底，用h表示平行四边形的高，那么S=a×h（板书）。同时强调：在含有字母的式子中，字母和字母之间的乘号可以记作"."，也可以省略不写，所以平行四边形的'面积公式还可以记作S=a.h或S=ah（板书）。 8、让学生闭上眼睛，在轻柔的音乐中回忆平行四边形面积计算的推导过程。 四、巩固练习： 1、刚才我们已经推导出了平行四边形的面积公式，那么，要求平行四边形的面积，必须要知道哪几个条件？（底和高，强调高是底边上的高） 2、练习： ⑴、（微机显示例一）求平行四边形的面积 ⑵、判断题（微机显示，强调高是底边上的高） ⑶、比较等底等高的平行四边形面积的大小（用求面积的公式计算、比较，得出结论：等底等高的平行四边形面积相等） ⑷、思考题：用求面积的公式解决流氓兔的难题（微机演示，得出结论：原长方形与改变后的平行四边形比较，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽不等于平行四边形的高，所以二者的面积不相等）。 五、问答总结： 1、通过这节课的学习，你学到了哪些知识？ 2、平行四边形面积的计算公式是什么？ 3、平行四边形面积公式是如何推导得出的？ 六、课后作业：P67 1、2、3、5 《指导丛书》练习十六 1 教学目的 1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是 平行四边形； 2．理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四 边形 3．能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形。 教学重点和难点 重点：平行四边形的判定定理； 难点：掌握平行四边形的性 质和判定的区别及熟练应用。 教学过程 （一）复习提问： 1. 什么 叫平行四边形 ？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书） 2. 将 以上的性质定理，分别用命题形式 叙述出来。（如果……那么……） 根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平 行四边形性质定理的逆命题是否成立？ （二）新课 一．平行四边形的判定： 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的'平边形。 几何语言表达定义法： ∵AB∥C D，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形 解析：一个四边形只要其两组对边 分别互相平行， 则可判定这个四边形是一个平行四边形。 活动：用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等。 方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 设问：这个命题的前提和结论是什么？ 已知：四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC 求 证：四边ABCD是平行四边形。 分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是须证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角等。连结BD。易 证三角形全等。（见图1） 板书证明过程。 小结：用几何语言 表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明一个四边形是平行四边形的方法为： 判定一：二组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形A BCD是平行四边形 练习：课本P103练习题第1题。 例题讲解： 例1 已知：如图3，E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点，连结BE、DF。 求证： 分析：由我们学过平行四边形的性质中，对角相 等，得若证明四边形EBFD为平行四边形，便可得到 ，哪么如何证明该四边形为平行边形呢？可通过证 明ΔABE≌ΔCDF得BE=DF；由AD=BC ，E、F分别为AD和BC的中点得ED=FB。 练习：2. 已知如 图7， E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH。 求证：四边 形EFGH是平行四边形。 教学内容：第70－73页练习十七第1－3题 教学要求： １、理解平行四边形面积计算公式，能正确地计算平行四边形面积； ２、在割补、观察与比较中，初步感知与学习转化、变化的数学思想方法，并发展学生的空间观念。 教学重点：运用面积公式解答实际问题。 教具、学具准备：教师准备微机及多边形、平行四边形课件两组、边可活动的平行四边形框架。学生准备任意大小（画有高）的平行四边形纸片、剪刀。 教学过程： 一、质疑导入 １、指出下面平行四边形的底和高各是几厘米？ ２、向学生出示可拉动的长方形框架，问：要求这个长方形的面积，怎么办？（学生回答，教师板书：长方形面积＝长×宽） ３、分别用手拉长方形相对的一对角，使其变形为平行四边形后，问：原来的平行四边形变成了什么图形？它的面积怎样求呢？（揭示课题：平行四边形面积计算） 二、引导探究 （一）、初探 １、微机出示第70页左图，让学生说出平行四边形底和高各是多少厘米，然后数出它的面积。 ２、出示第70页右图，让学生说出长方形长和宽各是多少厘米，然后算出它的面积。 ３、让学生观察、比较： （１）两图形的面积都是18平方厘米，那么平行四边形的底和高与长方形的长和宽有什么关系？ （２）从上面的比较中你想到什么？ （二）、深究 １、做导引题下图中阴影部分面积是多少？ 微机演示剪拼过程后让学生回答： （１）剪拼前后，图形形状变了没有？面积改变没有？ （２）阴影部分面积是多少？ （３）解这道题你想到什么？ ２、剪拼 （１）刚才用剪拼的方法解决了一个求面积的问题，你能不能用剪拼的方法，把平行四边形转化成学过的图形，求出它的面积呢？拿出平行四边形纸片，剪一剪，拼一拼，试试怎么样。 （２）请剪拼方法不同的学生展示剪拼结果，说一说是怎样想的。根据学生的回答，教师演示。 ３、引导学生分析得出：沿着平行四边形底边上的任意一条高，都可以把平行四边形剪拼成一个长方形。 ４、归纳 （１）讨论： Ａ平行四边形剪拼成长方形后，两种图形的面积是否改变了？ Ｂ剪拼成的长方形的`长和宽分别与原平行四边形什么线段长度相同？ Ｃ剪拼成上面三种情况的图形后，哪些面积可以直接求出来？怎样算？ （２）归纳、总结，推导公式。 Ａ因为长方形面积＝长×宽 所以平行四边形面积＝底×高 Ｂ先启发学生用字母分别表示三个量，写出字母公式，再告诉学生一般的字母表示公式：Ｓ＝ａｈ Ｃ引导学生分析公式，使学生知道，要求平行四边形面积必须知道两个条件，平行四边形的底和高。 三、深化认识 １、验证公式： 让学生用面积公式算出课本第70页平行四边形面积，看结果与数方格法得出的结果是否一样。 ２、应用公式： （１）引导学生解课本第72页例 （２）完成课本第72页做一做１ ３、求下图表示的平行四边形的面积，列式为３×２.７，对吗？为什么？ 四、全课总结 五、课堂作业 １、第72页做一做２ ２、练习十七１ 3、练习十七２、３ 板书设计： 平行四边形的面积 【平行四边形教案】相关文章： 平行四边形教案01-02 《平行四边形的面积》教案01-02 平行四边形面积 教案12-17 《平行四边形的性质》教案12-16 教案-平行四边形的面积12-17 平行四边形面积教案02-10 精选平行四边形教案3篇05-23 数学《平行四边形的面积》教案02-14 【精选】平行四边形教案四篇05-17平行四边形教案2
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