梅涅劳斯定理

时间：2021-11-07 17:13:11 资料我要投稿

梅涅劳斯定理

定理叙述

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

注意：

最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）

证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，

AD：DB=AA'：BB'

BE：EC=BB'：CC'

CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

一应用梅涅劳斯定理

1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。

例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。分析：目标明确，写出比例式就行了。

例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。

例：

分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。

例：

如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。

分析：没啥好分析的。

总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的'直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。

2.几个不适合用梅氏定理的例子。

例：

如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……

总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。

例：

两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。

x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。（用了定比分点）

此时中间两个线段分点比例可由a,b,c,d,p,q,m,n给出。请自行练习

x,y,z,w等8个数看作所在点纵坐标，此时中间两个线段分点比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n给出，且与上面结果相同。这表明图中里边的线段分点比例只与外围分点比例有关，与外围线段长度，夹角无关。

等价的，引理：如图三点共线。则保持图中线段分点比例不变，旋转，平移，均匀伸缩粉色线段，会使三个黑点仍然http://meiwen.anslib.com/news/55A54887FD48C7B6.html共线。

看原题中的图，两条直线交于O,根据梅氏定理，G,H,I分所在线段比例由OA:AB:BC

OD:DE:EF确定。只要保持这两个连比不变，G,H,I分所在线段比例不变。根据引理，G,H,I分所在线段比例不变情况下证明了三点共线，则间接证明了原题。所以，令角AOD为直角，O为坐标原点。下略。

总结：不应刻意追求代数流或纯几何，自然为上。

3 比较该定理和赛瓦定理

联系：基本图形接近。我们试图用下图统一两个定理。