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湖北八校二次届联考数学(理科)试题
湖北省
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳五中 襄阳四中
八校
2014届高三第二次联考
数 学(理工类)
命题学校:孝感高中 命题人:彭西骏 韩松桥 审题人:徐新斌 黄 鹏 考试时间:2014年3月20日下午15:00—17:00
本试卷共4页,共22题,其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z满足(1?i)z?1?2i(其中i是虚数单位),则z对应的点位于复平面的 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合A?{xx2
?(a?3)x?3a?0},B?{xx2?5x?4?0},集合A
B中所有元素之和为8,
则实数a的取值集合为
A.{0} B.{0,3}
C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 3.下列说法正确的是
A.“a?b”是“a2?b2”的必要条件 B.自然数的平方大于0 C.“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题为真
D.存在一个钝角三角形,它的三边长均为整数
4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是
A.48cm3 B.98cm3 C.88cm3 D.78cm3
第4题图
5http://meiwen.anslib.com.把函数y?sinx?x?R?的图象上所有的点向左平移?
6
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐
标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到图象的函数表达式为
A.y?sin?
?2x?
???
3??,x?R
B.y?sin?
?2x?
???
3??,x?R C.y?sin??1
???2
x?6??,x?R
D.y?sin??1
???2
x?6??,x?R
6.已知双曲线x2y2
a2?4
?1 (a?0)的一条渐近线与圆
(x?3)2?y2?8相交于M,N两点,且MN?4,则此双曲线的离心率为
A
B
C
D.5
7.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处,形成一个电场,距离原点为r处的单位电荷受到的电
场力由公式F=kq
r
2(其中k为常数)确定,在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r轴的方向从r?a处移动到r?2a处,与从r?2a处移动到r?3a处,电场力对它所做的功之比
为 A.
23 B.13 C.3
2
D.3
8.如图,在半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则ABAC?
A.
5
25C
2
B.
2 C.5
252
R D.2R B
9.将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这
三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 第8题图
A.
518 B. 19 C.3
18 D.172
10.函数f(x)?????x2?2x?3,x?0
lnx,x?0
,直线y?m与函数f(x)的图像相交于四个不同的点,从小到大,
??2?交点横坐标依次记为a,b,c,d,下列说法错误的是
A.m??3,4?
B.abcd???
0,e4
?
C.a?b?c?d???5
1?
e?
e?2,e6?1?e2?2??
D.若关于x的方程f?x??x=m恰有三个不同实根,则m取值唯一
二、填空题:本大题共6个小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡...
对应题号....
的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一) 必考题(11—14题)
11.记集合A??(x,y)|x2?y2?4?
和集合B??(x,y)|x?y?2?0,x?0,y?0?表示的平面区域分
别为?1和?2,若在区域?1内任取一点M(x,y),则点M落在区域?2的概率为
12.已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则
1x?2y?42y?3z?9
3z?x
的最小值为 .
13.定义某种运算?,S?a?b的运算原理如右图所示.
设f(x)?(0?x)x?(3?x).则f(3)?______;
f?x?在区间??3,3?上的最小值为______.
?
14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗,如:“云边月影沙边雁,?
水外天光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!
二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个;
三位的回文数有101,111,121,131,…,969,979,989,999,共90个; 四位的回文数有1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共90个; 由此推测:11位的回文数总共有 个.
(二) 选考题(请考生在第15、16两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC. 过点A 作圆
的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F.若AB = AC,
AE = BD = 4,则线段CF的长为______.
16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
第15题图 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长
?度.已知曲线C?3?x?2?5
t1:?
(t为参数)和曲线C2:?sin2??2cos?相交于A、B两点,设线???
y?45t段AB的中点为M,则点M的直角坐标为 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知向量m=(2cos2
x,n=(1,sin2x),函数f(x)?m?n.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)?3,c?1,ab?2,且a?b,
求a,b的值.
18.(本小题满分12分)
已知数列?a1
?
n?的前n项和是Sn,且Sn?3
an?1(n?N).
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;
(Ⅱ)设b?
,T1n?log4(1?Sn?1)(n?N)n?bb?1b??1100712
2b3b,求使Tn?成立的最小的正整数nbn?12016
n的值.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥C?PAB中,AB?BC,PB?BC,PA?PB?5,
AB?6,BC?4,点M是PC的中点,点N在线段AB上,且MN?AB. (Ⅰ)求AN的长;
(Ⅱ)求二面角M?NC?A的余弦值.
20.(本小题满分12分) 第19题图
甲乙两个地区高三年级分别有33000人,30000人,为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区
二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了
105名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为优秀.
甲地区:
乙地区:
(Ⅰ)计算x,y的值;
(Ⅱ)根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率;若将此优秀率作为概率,现从乙地区所有
学生中随机抽取3人,求抽取出的优秀学生人数的数学期望;
(Ⅲ)根据抽样结果,从样本中优秀的学生中随机抽取3人,求抽取出的甲地区学生人数η的分布
列及数学期望.
21.(本小题满分13分)
如图所示,已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心
和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A、B两点. (Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程; (Ⅱ)求证:以AB为直径的圆过原点; (Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆
C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
22.(本小题满分14分)
第21题图
已知函数f(x)?ln(1?x)?x?
k2
x2
,(k?0,且k?1). (Ⅰ)当k?2时,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)当k?0时,设f(x)在区间[0,n](n?N*
)上的最小值为bn,令an?ln(1?n)?bn,
求证:a1a?a1a3
a?????a1a3???a2n?1a?2an?1?1,(n?N*). 22a42a4???a2n
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