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空间全柔性机构位置分析的刚度矩阵法
2002第一文库网年6月
第28卷第3期北京航空航天大学学报
JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsJune 2002Vol.28 No13
空间全柔性机构位置分析的刚度矩阵法
于靖军 毕树生 宗光华
(北京航空航天大学机械工程及自动化学院)
摘 要:柔性机构是一种依靠构件元素的弹性变形传输所希望运动的机
构.具有集中柔度的全柔性机构是其中的一种类型.由于空间全柔性机构中存在球副,使得目前通用的伪刚体模型法受到限制,为此提出了一种扩展伪刚体模型法.并以62RSS并联全柔性机构为例对其位置解问题进行了分析:首先利用结构分析中的位移法建立起柔性铰链的刚度模型,,建立起机构的变形协调方程、,.该方法充分考虑了机构中弹性构件的变形,.
键:;柔性铰链;伪刚体模型:A 文章编号:100125965(2002)0320323204
柔性机构是一种靠构件元素具有的柔性来输
[1]
出运动或力的机构.全柔性机构是其中的一种典型.它包括两种:一种是集中柔度的全柔性机构,其特征是用柔性运动副代替全部传统运动副,与构件合为一体,柔性分布集中在运动副上.另一类是分布柔度的全柔性机构,其特征是柔性相对均衡地分布在整个机构中.由于全柔性机构具有免于装配、无间隙和摩擦等优点,故在微电机系统及微操作等领域中得到广泛应用.
在对集中柔度的全柔性机构研究中,文献[2]推导了柔性铰链的变形表达式;文献[3],[4]对平面全柔性机构的分析与综合问题进行了较为系统的研究,提出了一种“伪刚体模型”法.但球副等因素的存在限制了现有的伪刚体模型法在空间机构中的应用.国内也对全柔性机构进行了一定的探[5]
索.从总体看,目前国内外对全柔性机构的研究仍处于起步阶段,尤其对集中柔度的空间全柔性机构的分析尚缺乏有效的理论指导.
为此提出了一种刚度矩阵法,主要拟对空间全柔性机构位置解问题进行探讨.首先利用结构分析的位移法建立起柔性铰链的刚度模型,在此基础上,通过坐标转换,建立起单元节点与终端的力平衡方程、闭环位置方程及变形协调方程,联立求解可得到机构的位置解.
1 伪刚体模型法
伪刚体模型法可用于设计和分析具有短长度柔性转动副的柔性机构,尤其适合于集中柔度的平面全柔性机构的分析与设计.该方法首先将弹性杆(或铰链)模型等效简化为相应的刚性杆模型,即重构机构的“伪刚体模型”,然后再沿用大家所熟悉的用于刚性体中对机构进行分析与综合的方法(拓扑结构法、图论、矢量分析法等),加之能量法(如虚功原理等)的运用,即可实现在保证了精度的同时也使问题的求解得以简化.用以分析和设计平面全柔性机构运动学问题的这种伪刚体模型法已得到了较为系统的研究,但该方法对分析空间机构却存在着“先天不足”.
2 柔性铰链的刚度模型
图1给出了两种型式的柔性铰链.可以将柔性铰链看作变截面的变形单元,承受拉弯扭组合的空间变形.
下面建立一般形式柔性铰链的变形刚度矩阵.柔性铰链单元两端的节点分别设为1和2,在受到节点力的作用下产生空间变形,根据结构分析的位移法可建立以下形式的方程:
Δ=FA
(1)
收稿日期:2000210208
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50075010);863计划资助项目(98204226) 作者简介:于靖军(1974-),男,河北卢龙人,博士生,100083,北京.
324北京航空航天大学学报 2002年
标轴方向与OAxAyAzA一致.C点坐标系{3}为
OCxCyCzC.D点坐标系{4}为ODxDyDzD,E点坐标
系{5}为OExEyEzE,F点
的坐标系{6}为
OFxFyFzF,{3}～{6}坐标系方向一致,z轴沿DE
方向,其初始位置相对OAxAyAzA的方向余旋矩阵为R0.运动平台上的参考点P的坐标系{P}为
图1 柔性铰链的类型
K11 K
12K21 KK11 K
12K21
KTT
1Δ
Opxpypzp,相对参考坐标系的方向余旋矩阵为Rp.
=
F1F(2)
具体如图2所示.
式中 K=为柔性铰链单元刚度矩
Δ阵
;Δ=Δ1
F=
F1 F为柔性铰链单元节点位移;
T
δixiziΔi=δ=Fi=
fxifyi fzi mxi myi mi=1,2
T
(3)(4)
图2 62RSS机构分支结构及坐标系的建立
文献[6]给出了确定柔性铰链单元变形矩阵的方法和具体表达式.由此很容易确定具有柔性
铰链型式的转动副和球副的刚度矩阵表达式.
各坐标系的方向余旋矩阵表示如下:
i
Ri+1=Rθi,θi,θi
xyzRi+1=R0Ri+1=I
i=1,3,5i=2i=4
3 位置分析的扩展伪刚体法
实质上,空间全柔性机构是一种结构体,因此
采用结构分析的方法应更为合适些.但结构本身的复杂性势必带来分析上的不便,为简化运动分析并考虑到这类机构多用于微动,可提出以下假
设:机构中只有柔性铰链产生弹性变形,且变形在线弹性极限之内,构件本身视为刚性;另外,在运动学分析时可忽略惯性力的影响.
基于以上假设,下面给出了两种全柔性机构位置分析的方法.前者采用的是刚度矩阵法
,而后者在应用刚度矩阵法的同时还利用了伪刚体模型假设.为与前面所提的伪刚体模型法相统一,本文将这两种方法均称为“扩展伪刚体模型法”.3.1 全柔性机构位置分析的刚度矩阵法
为方便分析并不失一般性,本节以一具体的空间全柔性机构为例,说明这种机构的位置分析方法.该机构采用62RSS空间并联型式.给定输入
T
角位移Ω=<1<2<3<4<5<,运动平台的输出位置P=xpypzpφpθpψ3.1.1 坐标系的建立
T
ii
(5)
3.1.2 力平衡方程
在相邻单元共同的节点上,所受的节点力应
满足平衡条件.由平衡条件得到:
(1F2)0+(3F2)0=0(6)
(3F4)0+(5F4)0=0
(7)
而分支中各柔性铰链单元(AB,CD,EF)变形方程
为
ii
(8)Fi=Ki,i+1Δi+1
i
Fi+1=Ki+1,i+1Δi+1
i
(9)
分支中各刚性构件单元(BC,DE,FP)变形
方程可由下面公式得到:
i+1i+1
(10)Fi+1=SiFi式中
(i
Δi+1)0=0TiiΔi
+1(iFi+1)0=0TiiFi+1(iF
i)0=0Ti-1iFi+1
(11)(12)(13)
.
其中
选定其中一分支,参考坐标系为Oxyz,A点
坐标系{1}为OAxAyAzA,其坐标轴的方向与参考坐标系一致.B点坐标系{2}为OBxByBzB,其初始坐
Ti=
Ri0
0-I
Di
RSi=
0-(14)
第3期 于靖军等:空间全柔性机构位置分析的刚度矩阵法
i
325
Fi+1为坐标系{i+1}原点相对坐标系{i}所受节
i
i
类似.具体如图3所示.
点力;(Fi+1)0为Fi+1在参考坐标系中的表示;Si为转移矩阵;Di为3×3维常数阵,仅与杆长有关;I为3×3维单位阵.以上公式中i=1,3,5.将式(8)～(14)代入式(6)及(7)中,可得到如下形式的关系式:
13
(15)A11(Δ2)0=A12(Δ4)0
A21(Δ4)0=A22(Δ6)0
6
3
5
(16)
机构运动平台在静力平衡下满足合力为零.
Fw=
k=1
∑(
P
F6k)0(17)
图 式中 Fw为作用在运动平台上的外力,一般情况下已知;(F6k)0力;k为分支数.
中,5
于(Δ6k)0A31(Δ6k)0+A32=0
5
p
:
0,
13i
R2=R0R4=I
Ri+1=Rθi,θi,θi i=2,4xyz
(23)
(18)
3.1.3 空间矢量闭环位置方程
OA+AB+BC+CD+DE+EF+FP=OP
3.2.2 力平衡方程
(19)
代入相关公式可得到如下形式的方程:
(1Δ2p)0+(3Δ4p)0+(5Δ6p)0+A40=0
(20)
3.1.4 变形协调方程
在相邻单元共同的节点上,所受的节点力应
满足平衡条件.对于节点3,可由平衡条件得到:
(2F3)0+(4F3)0=0(24)分支中柔性铰链单元(CD,EF)变形方程可由式
(8)和(9)计算(公式中i=2,4),刚性构件单元DE变形方程可由公式(10)得到(公式中i=3).
将以上所得结果代入到式(24),可得到如下形式的关系式:
24
A11(Δ3)0+A12(Δ5)0=0
(25)
考虑到柔性铰链单元CD相对柔性铰链单元EF的角度关系,可建立起如下形式的关系式:
(3Δ4r)0+(5Δ6r)0+A50=0(21)式中
(Δi+1)0=
i
(iΔi+1p)
0(iΔi+1r)0
i=1,3,5(22)
在微动条件下机构上平台满足静力平衡条
件,故在参考点P处合力为零.代入相关公式到
4
式(17)中,可得到该式是关于(Δ5k)0的方程:
A21(Δ5k)0+A22=0
4
(16)、(18)、(20)和(21)组成方 联立式(15)、
(26)
程组,总共有108个未知变量,108个方程,方程可
解.根据此方程组可求得62RSS全柔性机器人机构的位置正反解.显然,方程组的求解是十分复杂的,不过可通过数值法求得结果.3.2 基于伪刚体模型法的全柔性机构位置分析
本节的分析仍以62RSS空间全柔性机构为例.机构的基本参数设定与上一节一致,而且在分析方法上也基本一致,不同之处在于对R副(转动副)的处理上.根据伪刚体模型法的假设,可将柔性R副等效为绕某一点转动的刚性杆(刚度为keq).
3.2.1 坐标系的建立
3.2.3 空间矢量闭环位置方程
OA+AC+CD+DE+EF+FP=OP
(27)
代入相关公式可得到如下形式的方程:
(2Δ3p)0+(4Δ5p)0+A30=0(28)3.2.4 变形协调方程
考虑到柔性铰链单元CD相对柔性铰链单元
EF的角度关系,可建立起如下形式的关系式:
(2Δ3r)0+(4Δ5r)0+A40=0(29)联立式(28)和(29)可得
(2Δ3)0+(4Δ
5)0+A50=0
(30)
选定其中一分支,坐标系建立方式与3.
1.1节
(26)和(30)组成方程组,总共有78联立式(25)、
个未知变量,78个方程,显然方程组可解.根据此
326北京航空航天大学学报 2002年
cation,andabstractionsofcompliantmechanisms[J].TransactionsoftheASME,JournalofMechanicalDesign,1994,116(1):270～279.
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[]:燕山大学机械
方程组可求得机构的位置解.
4 结 论
本文从柔性铰链的刚度矩阵出发,对空间全柔性机构的位置解求解方法进行了探讨.同以前
处理空间全柔性机构运动学问题所应用的方法相比,本文提出的求解方法充分考虑了机构的弹性变形,所建立的数学模型更接近于实际.由于本文讨论的重点是在求解方法的研究上,所以并未给出其算例.
参 考 文 献
[1]MidhaA,NortonTW,HowellLL.the,2
StiffnessMatrixMethodforDisplacementAnalysisofFullySpatial
CompliantMechanisms
YUJing2jun BIShu2sheng ZONGGuang2hua
(BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation)
Abstract:Becauseofsphericaljointsexistedinsomespatialmechanisms,thepseudo2rigid2bodymodelmeth2od
extensivelyusedintheanalysisanddesignofacompliantmechanismwithonlyrevoluteflexurejointswasverylimitedinanalyzingitskinematics.Anexpandedpseudo2rigid2bodymodelmethodnamedasstiffnessmatrixmethodwaspresentedtoconductthedisplacementanalysisoffullyspatialcompliantmechanisms.Takea62RSSmechanismforinstance,thestiffnessmatrixofthegeneralflexurehingewasestablishedbyusingthedisplacementmatrixmeth2odinstructuralanalysis.Throughthetransformationsofaseriesofcoordinatesystems,force2balanceequationsofnodesandend2effectorofthemechanism,deformationcooperationequationsandclose2loopdisplacementequationsofthemechanismwerederived.Ontheabovebasis,displacementanalysisofthemechanismwasconductedwiththestiffnessmatrixmethod,givingarelativelyhigheraccuratesolutionbyconsideringelasticdeformationofalltheme2chanicalmembers.
Keywords:kinematics;stiffnessmatrix;mechanism;fullycompliantmechanism;flexurehinge;pseudo2rig2id2bodymodel
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