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数学线性规划问题探究
作者简介：周亚锋（1996.4），男，汉族，湖北武汉市人，学生，学校：湖北省实验中学。
摘要：通过对实际生活中有关优化问题的探讨，运用线性规划知识，使问题情景数学化，特别是应用图解法有关可行解的理论，对有关优化问题的数学模型的建立和求解给出了具体方法。
关键词：线性规划；约束条件；目标函数；图解法
利用线性规划知识建立有关优化问题的数学模型，需要寻求决策变量x，在优化问题中，通常有多个决策变量，常用一组不等式来描述即约束条件。在解决最优解问题时，若用数量形式描述即目标函数。对不同的问题，其目标和条件的表现形式可以是各式各样，但在数学看来，都可以概括为：求某一函数在一定约束条件下的最大（最小）值的问题。
一、线性规划问题
1、不等式Ax+By+C>0
（1）当B>0时 y>-A/Bx-C/B表示直线Ax+By+C=0的上部分
（2）当B （3）当B=0时，当A>0时 x>-C/A表示直线x=-C/A的右方部分
当A 2、点在直线同侧还是异侧的判断
令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0
（1）A，B在L的异侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C） （2）A，B在L的同侧（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0
3、不等式表示的平面区域
例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面区域图1
|x|+|y|-2≤0
x+y-2≤0
-x-y-2≤0
x-y-2≤0
-x+y-2≤0
图1
二、建立优化问题的数学模型
下面通过实例看看如何形成约束条件和目标函数。
例：某工厂甲、乙两种产品，计划每天各种产品的生产量不少于15t，已知如表1所示。
12问应如何安排生产才能获得最大利润？
设甲、乙两种产品分别为x（t），y（t），总利润z（万元）
则有约束条件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目标函数为：zmax=7x+12y
概括上述问题的数学模型就是：求一组非负数x、y，使之满足上述约束条件，且使目标函数取得最大值。
三、用图解法解线性规划问题的方法
建立有关优化问题的数学模型后，下一步就需要求解问题。由于目标函数和约束条件都是线性函数，在二维情况下，可行解的区域为直线段围成的凸多边形，于是，最优解一定在凸多边形的某个顶点处取得。
解决上述的实际问题：
约束条件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目标函数为：zmax=7x+12y
由上述约束条件的5个不等式来确定可行解的区域。图2中阴影部分为凸多边形，其中每个点的坐标都是线性规划问题的一个可行解。
求目标函数为：zmax=7x+12y取得最大值。
令z等于某一个常数，如z=366.69，411，417.246，428等分别做直线zmax=7x+12y，这些线都是互相平行的直线，即是目标函数的等值线。当z越来越大时，直线离开原点越来越远，最后，在满足约束条件的所有解中，使z取得最大值的解将在可行域的边界点A（20，24）处得到，即当x=20、y=24时zmax=428（万元）。
由上述可知，用图解法解决实际问题的基本思路是：画出由约束条件所确定的可行域S，然后根据目标函数的梯度方向，在可行域S中选取最优解（x，y），使所求的目标函数有最大（最小）值。
总之，数学知识不单单可用于纸上解答问题，还可以解决实际生活中很多的问题，数学对人类的帮助很大。（作者单位：湖北省实验中学）
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