圆的一般方程解析

时间:2024-04-27 22:40:20 赛赛 资料 我要投稿
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圆的一般方程解析

  圆的一般方程,是数学领域的知识。圆是最常见的、最简单的一种二次曲线。以下是小编整理的圆的一般方程解析,希望对大家有所帮助。

  定义

  在平面上到一定点(中心)有同一距离(半径)之点的轨迹叫做圆周,简称圆。

  标准方程

  圆半径的长度定出圆周的大小,圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知:

  (1)圆半径长R;

  (2)中心A的坐标(a,b),则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。

  当圆的中心A与原点重合时,即原点为中心时,即a=b=0。

  圆的一般方程知识点

  1、圆的定义

  平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

  2、圆的方程

  (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  (1)标准方程,圆心(a,b),半径为r;

  (2)求圆方程的方法:

  一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

  另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

  3、直线与圆的位置关系

  直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

  (1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;

  (2)过圆外一点的切线:

  ①k不存在,验证是否成立

  ②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

  (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

  定义

  定义:一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t’的函数{x=f(t)y=g(t)

  并且对于t‘的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t‘叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意:参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义和几何意义的变数,也可以是没有实际意义的变数。

  案例

  1、曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

  2、圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 为圆心坐标,r 为圆半径,θ 为参数,(x,y) 为经过点的坐标;

  3、椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ(θ∈[0,2π)) a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数;

  4、双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数;

  5、抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数;

  6、直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表示直线经过(x,y),且倾斜角为a,t为参数.

  7、或者x=x+ut, y=y+vt (t∈R)x,y直线经过定点(x,y),u,v表示直线的方向向量d=(u,v);

  8、圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ) y=r(sinφ-φcosφ)(φ∈[0,2π)) r为基圆的半径 φ为参数;

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