勾股定理无字证明

时间:2023-04-29 20:37:41 证明范文 我要投稿
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勾股定理无字证明

勾股定理无字证明

勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理无字证明

在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊

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刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂.开方除之,即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是:三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以股b为边的正方形为青方。以盈补虚,将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内,那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方。以赢补虚,只要把图中朱方(a2)的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年),刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中,他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分,又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满,所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

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这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明

有许多勾股定理的证明方式,都是基于相似三角形中两边长的比例。

设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高,并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义),而两个三角形都有A这个共同角,由此可知第三只角都是相等的。同样道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系:

因为BC=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

综合这两个方程式,我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

换句话说:a*a+b*b=c*c

[*]----为乘号

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