函数法证明不等式

函数法证明不等式

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0

<1> 证明 0

<2>证明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊?

(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx

00,f(x)是增函数,f(0)

因为0

且an+1=an-sinan

(2)求证不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①

构造函数g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0

g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)单增,g'(x)>g'(0)=0

所以g(x)单增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立

因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。

证毕!

构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

【例1】证明不等式：≥ (人教版教材P23T4)

证明：构造函数f(x)= (x≥0)

则f(x)==1-在上单调递增

∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所证不等式正确。

点评：本题还可以继续推广。如：求证：≥。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如：

P14第14题：已知c>a>b>0,求证:

P19第9题: 已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证：

P12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式

【例2】证明不等式：(x≠0)

证明：构造函数f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。

当x>0时，<0，f(x)<0;

当x<0时，-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0，即

三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式

【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：a + b + c 证明：构造函数f(c)=(1-ab)c + a + b-2

∵|a|<1，|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1，1)上是增函数

∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0

∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0

∴a + b + c 。

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