弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

那么

.

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么

2

连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3

编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另 图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴ ∠CEA=∠CAB ∴ (弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30° ∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD， 同理：BC平分∠NCD.

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