对口算算理、算法的辩证认识

时间：2023-04-28 04:01:20 教育我要投稿

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对口算算理、算法的辩证认识

对口算算理、算法的辩证认识贲友林什么叫算理?什么叫算法?这是进行口算教学必须首先搞明白的问题。算理就是计算过程中的道理，解决"为什么这样算"的问题。算法就是计算的方法，解决"怎样算"的问题。如何认识口算中算理与算法的关系，下面谈一些想法。"有"与"无"对于小学生的口算来说，核心的内容是基本口算。所谓基本口算主要指20以内加减法和表内乘除法。除了这些基本口算。要求学生掌握的还有简单的两位数加、减法及百以内的乘加、乘减、除加、除减等；在小数、分数四则计算中，也有相当数量的口算内容。那学生在学习这些口算时，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基础上掌握算法的呢?先从最简单的加法说起。3+2。怎样算?为什么这样算?就这两个问题，我访谈了大学教授、小学数学教研员和小学数学教师，但他们没有一人能做出解释。其实不难发现。我们往往脱口而出3加2等于5，我们的策略是"直接提取"，也就是说，3加2等于5，我们成人已经形成了"计算自动化"，在我们的头脑中已经有了现成的答案，我们可以迅速地从长期记忆中提取有关数学事实。那我们在一年级教学时。又是如何处理3+2的呢?一种常见的教法是借用数的组成想得数，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我们知道，在学习3+2=5之前，已有相当一部分学生知晓3+2=5；我们也知道，有学生最初就是用"数手指"的方法数出来的。之后，又由数手指发展为数数，即接着3之后数两个数：4、5，所以，3+2=5。这样的算法，我们也许觉得很幼稚，但这样的算法，恰恰最接近加法的定义。在递归算术中，自然数的加法可以用求继数的运算来定义。如，求3+2的和，就是求3的继数的继数。即在自然数中，从3往后数2个数所得出的5。毋庸置疑，一段时间之后，学生在算"3+2"时也都形成了"计算自动化"，3+2等于5，都储存于记忆中。这时，算法已经脱胎于算理。学生学习基本口算就是在头脑中构建一个"数学事实库"的过程。继而完成从构建事实到提取事实的转化。我们是否可以这样理解：最初，学生在口算时，可能有算法而不知算理；后来，知算法而且知算理；再后来，又是有算法无算理。也就是说，在学生学习口算探索与掌握算法的不同时段，他们计算时是否具有算理，经历了"无--有--无"这样一个过程。由此推想，不同的口算内容，算法与算理是否也表现出像这样脱离、融合、脱胎的不同阶段之分呢?在口算教学时，学生不理解算理，教师需要引导，否则学生的计算只是停留于形式化地计算，他们只是机械地掌握计算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教师却不要太多地纠缠于算理。"一"与"多"在学习口算两位数减两位数44-25时，学生独立思考之后交流了各自算法。算法1：44-5=39，39-20=19--把减数分成5和20，从被减数中依次减去。算法2：40-25=15，15+4=19--把被减数分成40和4，先从40里减去25，再把所得的差与4合并。算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19--个位上4减5不够减，还差1，就从十位上减得的差20里去掉1。算法4：44-24=20，20-1=19--把减数分成24和1，再从被减数中依次减去。算法5：30-25=5，14+5=19--把被减数分成30和14，从30里减去25得5，再把14和5合并。算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19--竖式计算的方法。算法7：十位上，30-20=10；个位上，14-5=9；得数是19--先算十位。再算个位。算法多样化是学生独立思考后自然生成的。细细分析各种算法。算法1和算法4的算理是一样的，都是把减数分成两部分，从被减数中分别减去；算法2和算法5的算理是一样的，都是把被减数分成两部分，其中一部分减去减数后再与被减数的另一部分合起来；算法6和算法7都是在头脑中构建竖式，算法6从个位减起，算法7从十位减起。由此可见，就算题本身来说，算法是多样的，但算理可能相同。再说一例。学习小数乘法，一组口算练习之后，反馈时发现，有几位学生在口算20×0.4这一题时出错了。教师指名一位学生口述算法：先算20乘4等于80。再点小数点：8.0，化简得8。学生采用的是"类似笔算的口算"。即在头脑中想20×0.4的竖式并算出得数。教师在学生口述算法的过程中板书：

教师如上板书。是让学生理解其算法的算理，即应用了乘法中因数变化引起积变化的规律进行口算。一位学生举手：我是这样算的：20xO，4=2×4=8。教师追问：你为什么这样算呢?学生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不难发现，这位学生交流的是"分解因数、运用乘法结合律"的方法进行口算。。又一位学生举手：我也是这样算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一个因数除以10，另一个因数乘10，积不变。如果完整写出这位学生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。后两种算法，如果不去追问思维过程，我们也许会做出"算法相同、算理相同"的判断，然而，看似相同的算法，其实并不同。但算理却是相同的。当我们看到的是"一"，也许仅仅是表面形式的相同，其内部蕴含的可能是"多"。学生的思维过程是丰富多彩的。口算教学中，存在着的一种现象是，教师重结果、轻过程，只满足于口算正确，不愿花时间去分析学生的思维过程。我们要注意克服这种不良倾向。在口算时，鼓励学生"用你的脑子去算"，而不仅仅是"在你的脑子里算"。"有用"与"无用"对于算理与算法。学生在实际口算时往往更注重算法，因为按其操作即可算出结果。教师关注的焦点是学生要算得对、算得快，至于"为什么这样算"，往往不够重视。那算理是"有用"还是"无用"呢?有这样一次"意外事件"。由于制作试卷的疏忽，在五年级学习小数加、减法之后的单元测试卷上出现了这样一道口算题：3.6×0.5，这道题原本应是3.6+0.5。显然，这样的算题如何计算学生还未学习。我想了想，决定不改题，看看学生能否独立探索解决"未学过"的问题。为了解学生具体的思维过程，我让学生在试卷上写下口算3.6×0.5是怎样想的。结果发现：全班47位学生参加测试。有25位学生正确算出结果。其中有10位学生的算法是写出竖式，用笔算的方法算出结果(对这样的算法，我又找几位学生进行交流：为什么积是1.8?学生的回答是：3.6的一半，应当是一点几；36乘5得180，结果是两位小数，化简后是1.8)；有14位学生根据3.6×0.5的意义算出结果，他们的算法是：一个数乘0.5，得数是这个数的一半。3.6÷2=1.8：还有1位学生运用乘法分配律的方法算出结果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5+0.3，就等于1.8。学生为什么在未学的情况下能算出来?尽管正确算出得数的25位学生未必都理解算理，但可以发现，如果他们理解了算理，那么他们基本上就能正确算出算题。算理有助于学生探索算法。有算法时，不一定能说清算理；但有算理。可以转化成算法。又一则例子。口算整百数乘一位数400×2，学生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添两个0。为什么在8后面添两个0，学生解释不清楚。教学时。教师要让学生给自己的算法找一个合理的解释，在学生解释的过程中引导学生理解：4个百乘2，得8个百，也就是800。由此，学生可进一步在理解算理的基础上计算像4000×2、40000×2这样的算题，而不停留于"照葫芦画瓢"式的模仿计算。综上所述，算理不是没有用。而是教师在教学中是否发挥其作用。不要把算理、算法作为"两张皮"。算理为计算提供了正确的思维方式。保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的。算法往往是显性的。它们相辅相成，算理的探讨有助于学生探索算法、掌握算法。当然，在口算学习过程中，也要注意避免程式化地叙述算理，对算理的一味推崇容易让学生陷入空洞抽象说教的泥潭，不过，对算法的过度操练也容易让学生走向机械重复练习的窠臼。(作者单位：南京师范大学附属小学)

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