高一必修一数学知识

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高一必修一数学知识

高一必修一数学知识1

  指数函数

高一必修一数学知识

  (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。

  (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

  (3)函数图形都是下凹的。

  (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。

  (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的.过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

  (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

  (7)函数总是通过(0,1)这点。

  (8)显然指数函数。

高一必修一数学知识2

  方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的'图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点。

  3、函数零点的求法:

  (1)(代数法)求方程的实数根;

  (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。

  4、二次函数的零点:

  (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。

  (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。

  (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。

高一必修一数学知识3

  一、定义与定义式:

  自变量x和因变量y有如下关系:

  y=kx+b

  则此时称y是x的一次函数。

  特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

  即:y=kx(k为常数,k≠0)

  二、一次函数的性质:

  1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

  即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

  2、当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

  三、一次函数的图像及性质:

  1、作法与图形:通过如下3个步骤

  (1)列表;

  (2)描点;

  (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

  2、性质:

  (1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。

  (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(—b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

  3、k,b与函数图像所在象限:

  当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

  当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

  当b>0时,直线必通过一、二象限;

  当b=0时,直线通过原点

  当b<0时,直线必通过三、四象限。

  特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

  这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限

  四、确定一次函数的表达式:

  已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。

  (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

  (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

  (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

  (4)最后得到一次函数的.表达式。

  五、一次函数在生活中的应用:

  1、当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。

  2、当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

  六、常用公式:(不全,希望有人补充)

  1、求函数图像的k值:(y1—y2)/(x1—x2)

  2、求与x轴平行线段的中点:|x1—x2|/2

  3、求与y轴平行线段的中点:|y1—y2|/2

  4、求任意线段的长:√(x1—x2)’2+(y1—y2)’2(注:根号下(x1—x2)与(y1—y2)的平方和)

高一必修一数学知识4

  1、“包含”关系—子集

  注意:有两种可能

  (1)A是B的一部分,

  (2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  2、“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设A={x|x2—1=0}B={—1,1}“元素相同”

  结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的'任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

  ①任何一个集合是它本身的子集。AíA

  ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

  ③如果AíB,BíC,那么AíC

  ④如果AíB同时BíA那么A=B

  3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

高一必修一数学知识5

  1、定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  2、二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x—h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x—x?)(x—x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax?,x?=(—b±√b^2—4ac)/2a

  3、二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的.图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  4、抛物线的性质

  5、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=—b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  6、抛物线有一个顶点P,坐标为

  P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)

  当—b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2—4ac=0时,P在x轴上。

  7、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

高一必修一数学知识6

  知识点1

  一、集合有关概念

  1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

  2、集合的中元素的三个特性:

  1、元素的确定性;

  2、元素的互异性;

  3、元素的无序性

  说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

  (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

  (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

  (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

  3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  1、用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  2、集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意啊:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

  关于“属于”的概念

  集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A

  列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

  描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

  ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ②数学式子描述法:例:不等式x—3>2的解集是{x?R|x—3>2}或{x|x—3>2}

  4、集合的分类:

  1、有限集含有有限个元素的集合

  2、无限集含有无限个元素的集合

  3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}

  知识点2

  I、定义与定义表达式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大、)

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  II、二次函数的三种表达式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

  顶点式:y=a(x—h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

  交点式:y=a(x—x?)(x—x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

  h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax?,x?=(—b±√b^2—4ac)/2a

  III、二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

  IV、抛物线的性质

  1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=—b/2a。对称轴与抛物线的'交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2、抛物线有一个顶点P,坐标为

  P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)

  当—b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2—4ac=0时,P在x轴上。

  3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  知识点3

  1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

  x=—b/2a。

  对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  2、抛物线有一个顶点P,坐标为

  P(—b/2a,(4ac—b’2)/4a)

  当—b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2—4ac=0时,P在x轴上。

  3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  6、抛物线与x轴交点个数

  Δ=b’2—4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ=b’2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  Δ=b’2—4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=—b±√b’2—4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  知识点4

  对数函数

  对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:

  可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

  (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

  (2)对数函数的值域为全部实数集合。

  (3)函数总是通过(1,0)这点。

  (4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

  (5)显然对数函数。

  知识点5

  方程的根与函数的零点

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点。

  3、函数零点的求法:

  (1)(代数法)求方程的实数根;

  (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。

  4、二次函数的零点:

  (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。

  (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。

  (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。

高一必修一数学知识7

  集合与函数概念

  一、集合有关概念

  1、集合的含义

  2、集合的中元素的三个特性:

  (1)元素的确定性如:世界上最高的山

  (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

  3、集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

  注意:常用数集及其记法:XKb1、Com

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集:N或N+

  整数集:Z

  有理数集:Q

  实数集:R

  1)列举法:{a,b,c……}

  2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x—3>2},{x|x—3>2}

  3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn图:

  4、集合的分类:

  (1)有限集含有有限个元素的集合

  (2)无限集含有无限个元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合

  二、集合间的基本关系

  1、“包含”关系—子集

  注意:有两种可能

  (1)A是B的一部分;

  (2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  2、“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设A={x|x2—1=0}B={—1,1}“元素相同则两集合相等”

  即:

  ①任何一个集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

  ③如果A?B,B?C,那么A?C

  ④如果A?B同时B?A那么A=B

  3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  4、子集个数:

  有n个元素的集合,含有2n个子集,2n—1个真子集,含有2n—1个非空子集,含有2n—1个非空真子集。

  三、集合的运算

  运算类型交集并集补集

  定义由所有属于A且属于B的.元素所组成的集合,叫做A,B的交集、记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}、

  由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集、记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB})、

  基本初等函数

  一、指数函数

  (一)指数与指数幂的运算

  1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈,当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数、此时,的次方根用符号表示、式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand),当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数、此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号—表示、正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)、由此可得:负数没有偶次方根。

  2、分数指数幂

  正数的分数指数幂的意义,规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

  指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

  3、实数指数幂的运算性质

  (二)指数函数及其性质

  1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R。

  注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1。

  2、指数函数的图象和性质

  二、函数的应用

  1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

  2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

  求函数的零点:

  1(代数法)求方程的实数根;

  2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。

  二次函数:

  1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。

  2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。

  3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。

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