高三数学第二学期的期中试题

时间:2024-10-18 09:23:14 志彬 数学试题 我要投稿
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人教版高三数学第二学期的期中试题

  在日常学习和工作生活中,我们总免不了要接触或使用试题,借助试题可以更好地考核参考者的知识才能。一份什么样的试题才能称之为好试题呢?下面是小编精心整理的人教版高三数学第二学期的期中试题,欢迎大家分享。

人教版高三数学第二学期的期中试题

  一、选择题

  1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是()

  A.直角三角形B.锐角三角形

  C.钝角三角形D.等腰三角形

  答案 D

  2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是()

  A.直角三角形B.等边三角形

  C.钝角三角形D.等腰直角三角形

  答案 B

  解析 由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,

  tanA=tanB=tanC,A=B=C.

  3.在△ABC中,sinA=34,a=10,则边长c的取值范围是()

  A.152,+B.(10,+)

  C.(0,10) D.0,403

  答案 D

  解析 ∵csinC=asinA=403,c=403sinC.

  4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是()

  A.等腰三角形B.直角三角形

  C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

  答案 A

  解析 由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,

  sin(B+C)=2sin Bcos C,

  sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,

  sin(B-C)=0,B=C.

  5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于()

  A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

  C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

  答案 B

  解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,

  b+c4=c+a5=a+b6.

  令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0),

  则b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.

  sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

  6.已知三角形面积为14,外接圆面积为,则这个三角形的三边之积为()

  A.1B.2

  C.12D.4

  答案 A

  解析 设三角形外接圆半径为R,则由,

  得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,abc=1.

  二、填空题

  7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=________.

  答案 23

  解析 ∵cosC=13,sinC=223,

  12absinC=43,b=23.

  8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60,a=3,b=1,则c=________.

  答案 2

  解析 由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60=1sinB,

  sinB=12,故B=30或150.由ab,

  得AB,B=30,故C=90,

  由勾股定理得c=2.

  9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=________.

  答案 7

  解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2,

  asinA=bsinB=csinC=2R=2,

  asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

  10.在△ABC中,A=60,a=63,b=12,S△ABC=183,则a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.

  答案 12 6

  解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

  ∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183,

  sinC=12,csinC=asinA=12,c=6.

  三、解答题

  11.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  证明 因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,

  所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

  =sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

  所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.

  解 设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA

  a2sinBcosB=b2sinAcosA

  4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

  sinAcosA=sinBcosB

  sin2A=sin2B

  2A=2B或2A+2B=

  A=B或A+B=2.

  △ABC为等腰三角形或直角三角形.

  能力提升

  13.在△ABC中,B=60,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为()

  A.45B.60C.75D.90

  答案 C

  解析 设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120,

  sinCsinA=sin120-AsinA

  =sin120cosA-cos120sinAsinA

  =32tanA+12=3+12=32+12,

  tanA=1,A=45,C=75.

  14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=4,

  cosB2=255,求△ABC的面积S.

  解 cosB=2cos2B2-1=35,

  故B为锐角,sinB=45.

  所以sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.

  由正弦定理得c=asinCsinA=107,

  所以S△ABC=12acsinB=12210745=87.

  1.在△ABC中,有以下结论:

  (1)A+B+C=

  (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;

  (3)A+B2+C2=

  (4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2.

  2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.

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