用猜想验证的方法化循环小数为分数 论文

时间:2023-04-30 09:53:27 数学论文 我要投稿
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用猜想验证的方法化循环小数为分数 论文

   

把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导,也可以用无限递缩等比数列的求和公式计 算得到。下面我们运用猜想验证的方法来推导。

用猜想验证的方法化循环小数为分数 论文

    (一)化纯循环小数为分数

    大家都知道:一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。那么,一个纯循环小数可以化成 分母是怎样的分数呢?我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。如:@①、@②……化成分数时 ,它们的分母可以写成几呢?

    想一想:可能是10吗?不可能。因为1/10=0.1〈@①,3/10=0.3〉@②;可能是8吗?不可能。 因为1/ 8=0.125〉@①,3/8=0.375〉@②;那么,可能是几呢?因为1/10〈@①〈1/8,3/10〈@②〈3/8,所以分 母可能是9。 下面我们来验证一下自己的猜想:1/9=1÷9=0.111……=@①;3/9=1/3=1÷3=0.333……= @②。

    计算结果说明我们的猜想是对的。那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗 ?让我们根据自己的猜想, 把@③、@④化成分数后再验证一下。

    @③=4/9 验证:4/9=4÷9=0.444……

    @④=6/9=2/3 验证:2/3=2÷3=0.666……

    经过上面的猜想和验证,我们可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个 循环节组成的数作分子,用9 作分母;然后,能约分的再约分。

    循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢?如:@⑤、@⑥……化成分数时,它们的分母又可以写 成多少呢?

    想一想:可能是100吗?不可能。因为12/100=0.12〈@⑤,13/100=0.13〈@⑥。可能是98吗?不可能。 因为12/98≈0.1224〉@⑤,13/98≈0.1327〉@⑥;可能是多少呢?因为12/100〈@⑤〈12/98,13/100〈@⑥ 〈13/98,所以分母可能是99。是否正确,还需验证一下。

    12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;

    13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。

    验证结果说明我们的猜想是正确的。那么,所有循环节是两位数字的纯循环小数都可以写成分母是99的分 数吗?让我们再运用猜想的方法,把@⑦、@⑧化成分数后,验算一下。

    @⑦=15/99=5/33,验算:5/33=5÷33=0.151515……

    @⑧=18/99=2/11,验算:2/11=2÷11=0.181818……

    经过这次猜想和验证,我们可以得出这样的结论:循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循 环节组成的数作分子,用99作分母;然后,能约分的再约分。

    现在,你能推断出循环节是三位数字的纯循环小数化成分数的方法吗?

    因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用9作分母, 循环节是两位数字的纯循环小数化成分数 时,用99作分母,所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时,我们猜想是用999作分母, 分子也是一个 循环节组成的数。让我们再来验证一下,如果这个猜想也是正确的,那么,我们就可以依次推下去了。

    附图{图}

    实验证明:我们的猜想是完全正确的。照此推下去,循环节是四位数字的纯循环小数化成分数时,就要用 9999作分母了。实践证明也是正确的。所以,纯循环小数化成分数的方法是:

    用9、99、999……这样的数作分母,9 的个数与循环节的位数相同;用

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