数学教案：完全平方公式

数学教案：完全平方公式

　　作为一名教学工作者，可能需要进行教案编写工作，借助教案可以有效提升自己的教学能力。那么你有了解过教案吗？以下是小编为大家收集的数学教案：完全平方公式，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

数学教案：完全平方公式1

　　一、创设情境，引出课题

　　如图，有一个边长为a米的正方形广场，则这个广场的面积是多少？

　　a

　　若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10米的道路，则面积是多少？

　　a 10

　　引导学生利用图形分割求面积。

　　另一方面：正方形

　　10 10a 102面积为(a+10)2,所以：

　　(a+10)2=a2+20a+102

　　a a2 10a

　　a 10

　　b ab b2把10替换为b,(a+b)2=a2+2ab+b2

　　a a2 ab提出课题

　　a b

　　通过较为简单的几何图形面积计算和较熟悉的整式乖法计算。引入本节学习内容(a+b)·(a+b)

　　（根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣）

　　问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。

　　对公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式进行初步认识，接触

　　二、交流对话，探求新知

　　1、推导两数和的完全平方公式

　　计算(a+b)2

　　解：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

　　2、理解公式特征

　　①算式：两数和的平方

　　②积：两个数的平方和加上这两个数积的2倍

　　3、语言叙述

　　(a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何叙述

　　4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学

　　①利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)

　　②利用换元思想 (a-b)2=[a+(-b)]2

　　③利用图形

　　b

　　a

　　(a-b) b

　　a

　　5、学生总结、归纳：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　这两个公式叫做完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。

　　6、公式中的字母含义的理解。（学生回答）

　　(x+2y)2是哪两个数的和的平方？

　　(x+2y)2=( )2+2( )( )+( )2

　　(2x-5y)2是哪两个数的差的平方？

　　(2x+5y)2=( )2+2( )( )+( )2

　　变式(2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方？

　　利用多项式乘法推导公式，使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。

　　组织学生小组讨论，使学生明确公式特征，加深对公式表象的理解。

　　由学生对公式

　　(a+b)2=a2+2ab+b2进行口头语言叙述。

　　(1)说明：教师提供三种模式，由学生选择一种去解决。培养学生学习的主动性，开阔学生的思路。(2)同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；(3)体会辩证统一的唯物主义观点；(4)正确引导学生学习时知识的正迁移。

　　使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中，此时也可以让学生对两个公式特点进行讨论归纳，适当总结一定的口诀：“头平方，尾平方，两倍的乘积中间放。”

　　加深学生对公式中的字母含义的理解，明确字母意义的广泛性

　　三、整理新知形成结构

　　1、完全平方公式并分析公式左右的特征。

　　2、换元的基本想法

　　四、应用新知，体验成功

　　1、例1教学：用完全平方公式计算

　　(1)(a+3)2 (2)(y-)2 (3)(-2x+t)2 (4)(-3x-4y)2

　　学生直接运用公式计算，教师板演，讲评时边口述理由，针对第(4)题(-3x-4y)2可以看成是-3x与4y差的平方，也可以看成-3x与-4y和的平方

　　提出以下问题：

　　（1）可否看成两数和的平方，运用两数和的平方公式来计算？

　　（2）可否看成两数差的平方，运用两数差的平方公式来计算？

　　（3）能不能进行符号转化？如(-3x-4y)2=(3x+4y)2

　　2、公式巩固

　　（1）同桌同学互相编一道用完全平方公式计算题目，然后解答。

　　（2）下列各式的计算，错在哪里？应怎样改正？

　　①(a+b)2=a2+b2 ②(a-b)2=a2-b2

　　③(a-2b)2=a2+2ab+2b2

　　3、练习：运用完全平方公式计算：(学生板演)

　　①(a+5)2 ②(3+x)2 ③(y-2)2 ④(7-y)2

　　⑤(2x+3y)2⑥(-2x-3y)2 ⑦(3- )2 ⑧(- - )2

　　4、例2，运用完全平方公式计算：(1)1012 (2)982

　　5、练习：运用完全平方公式计算

　　(1)912 (2)7982 (3)(10 )2

　　6、讨论：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何计算

　　五、公式拓展，鼓励探究

　　1、a2+b2=(a+b)2-______ a2+b2+ _______=(a+b)2

　　a2+b2+ ________ =(a-b)2

　　2、(a+b)2-(a-b)2=______ 3、(a+b+c)2=________

　　4、提出思考题：(a+b)3=? (a+b)4=?

　　5、已知求的值。

　　6、已知：，求，的值。

　　6.已知，求x和y的值。

　　(1)遵循及时巩固原则。(2)针对初一学生注意力不能持久的特点。(3)形成知识网络，有利于学生进一步学习公式的运用

　　(1)直接运用公式进行计算。(2)进一步帮助学生掌握换元法。(3)进行符号转化的变换，加深学生对公式理解的深度，也为进一步学习其它知识打好基础。

　　对这几个式子的辨析目的在于防止学生对以前学过的如(ab)2=a2b2的公式的'负迁移作用

　　讲练结合

　　(1)合作学习，四人小组讨论（教师逐步引导到运用完全平方公式计算）学生讲自己解题的想法和步骤，培养语言表达能力。(2)体会公式实际运用作用，增加学习兴趣

　　进一步辨析完全平方公式与平方差公式的区别

　　公式变形利于各种计算

　　提出一个问题，引导学生用学习研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展变形问题。如：三项式的平方，两项式的立方、四次方等，培养学生的严谨的治学态度和钻研精神。

　　六、小结提高，知识升华

　　1、两个公式(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　2、两种推导方法：多项式乘法导出；图形面积导出

　　3、换元法与转化

　　七、作业布置，分层落实

　　1、阅读教材6.17内容

　　2、见省编作业本6.17

　　3、对(a+b)2,(a+b)3 ……的展开式从项数、系数方面进行研究

　　由学生自己小结本节所学知识、方法等。教师根据学生回答情况作出补充。

　　(1)作业1主要以培养学习良好的学习习惯为目的。(2)结合学生实际情况，贯彻面向全体学生，因材施教原则。作业2要求全体学都能完成。作业3为选做题，部分学有余力的学生可选做。在减轻学生的课业负担同时，注重人本思想，以学生的能力发展为重。也能满足不同层次学生的不同要求。

　　附：板书设计与时间大致安排

　　屏幕

　　课题

　　公式……例题

　　学生板演

　　本课时的时间大致安排：

　　引入课题3分钟左右，探求新知15分钟左右，整理新知2分钟左右，应用新知15分钟左右，公式拓展5分钟左右，小结作业布置约5分钟。

　　设计说明

　　本节课的教学设计注重体现以教师为主导、学生为主体，以发展学生为本的思想。遵循初一学生的心理特点（形象思维大于抽象思维）和认知规律（从特殊到一般）。结合学生实际学习情况（已较熟练掌握多项式乘法，并且本节之前也已经学习了平方差公式）进行本课设计的。下面就设计作几点简单说明：

　　1、完全平方公式的本质是多项式乘法，它的推导方法与平方差公式推导方法是一样的，根据乘方的意义与多项式乘法法则，就可以推导出完全平方公式。因此在两数和的平方公式推导中，采取先由学生自己计算(a+b)2，然后教师点题的方式，再加上引课时已经由几何图形面积的计算得出的结论(a+b)2=a2+2ab+b2，学生是容易接受的。在两数差的平方公式推导中，更进一步，由学生自主选择一种模式解决、验证，增加了数学课堂的开放性。

　　2、充分发挥学生自主学习、探究的能力。从引入时图形变换的教师启发引导，到公式验证、推导时的学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都突出了学生是探索性学习活动的主体。在公式拓展中还提出了思考题(a+b)3=？(a+b)4=？……(a+b+c)2=？培养学生严谨的治学态度和钻研探索的精神。同时让学生明确本节课不仅要学会完全平方公式，更加要学会完全平方公式的推导方法，即授学生以渔，让学生学会学习。

　　3、在练习设计与作业布置中都体现了分层次教学的要求，让不同层次的学生都能主动的参与并都能得到充分的发展。同时也遵循了面向全体与因材施教相结合的教学原则。

　　4、充分挖掘本课时教材中的隐含的各种数学思想，在教学中渗透如建模思想、数形结合思想、换元思想、化归思想，注重培养学生的发现问题、解决问题的能力、求简意识、应用意识、创新能力等各方面能力。

　　5、公式(a-b)2=a2-2ab+b2可以作为(a+b)2=a2+2)(ab+b2的一个应用，这样两个公式便统一为一个公式，这样做有助于学生的记忆和理解，但作为应用，实践表明还是把它们分开来用的好。因此，教学中在公式(a-b)2=a2-2ab+b2的推导过程就有意识的安排与(a+b)2=a2-2ab+b2统一，但又它与(a+b)2=a2+2ab+b2同等的对待。最后在小结时，对于两者的联系再加以说明，让学生领会到数学中的辩证统一思想。

数学教案：完全平方公式2

　　一、教学目标

　　(1)知识与技能；学生通过推导完全平方公式，掌握公式结构，能计算。

　　(2)过程与方法目标；学生探究完全平方公式，体会数形结合。

　　二、教学重点；公式结构及运用。

　　三、教学难点；公式中字母AB的含义理解与公式正确运用。

　　四、教具；自制长方形、正方形卡片

　　五、教学过程；

　　教师活动

　　学生活动

　　1、1、创设情景，提出问题，引入课题

　　(1)想一想

　　一位老人很喜欢孩子，每当孩子到他家做客时，老人都拿出糖招待他们，来了几个孩子老人就会每个孩子几块糖。

　　(1)第一天，a个男孩去看老人，老人共给他们几块糖？

　　(2)第二天，个女孩子去看望老人，老人共给他们多少块糖？

　　(3)第三天，()个孩子一起去看望老人，老人共给他们多少块糖？

　　(4)第三天比前二天的孩子得到糖总数哪个多？多多少？为什么？(分组讨论)

　　1、1、学生四人一组讨论。

　　填空：

　　(1)第一天给孩子块糖。

　　(2)第二天给孩子块糖。

　　(3)第三天给孩子块糖。

　　男孩子第三天多得块糖

　　女孩第三天多得块糖。

　　教师活动

　　学生活动

　　(2)做一做、请同学拼图

　　a

　　教师巡视指导学生拼图

　　2、2、教师提问：

　　(1)、大正方形边长？(2)每一块卡片的面积是多少？(3)用不同形式表示正方形总面积，比较发现什么？

　　3、3、想一想

　　(1)(a+b)用多项式乘法法则说明

　　(2)(a-b)

　　4、请同学们自己叙述上面的等式

　　5、说一说，ab能表示什么？

　　(□+○)□+2□○+○

　　6、算一算

　　(1)(2X-3)(2)(4X+5Y)

　　请同学们分清ab

　　7、练一练

　　(1)(2X-3Y)(2)(2XY-3X)

　　8、试一试(a+b+c)

　　作业：P1351、2

　　学生2人一组拼图交流

　　2、学生观察思考

　　(1)大正方形边长？

　　(2)四块卡片的。面积分别是

　　(3)大正方形的'总面积是多少？

　　3、(1)学生运用多项式乘法法则推导

　　(a+b)=a+2ab+b说出每一步运算理由

　　(2)学生自己探究交流

　　4、学生用语言叙述公式

　　5、师生共同a、b对应项教师书写

　　6、学生独立完成练一练展示结果

　　7、学生四人一组讨论交流

　　8、有兴趣的同学可以探

数学教案：完全平方公式3

　　一、教学目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生能利用公式解决简单的实际问题．

　　2．使学生理解公式与代数式的关系．

　　（二）能力训练点

　　1．利用数学公式解决实际问题的能力．

　　2．利用已知的公式推导新公式的能力．

　　（三）德育渗透点

　　数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践．

　　（四）美育渗透点

　　数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定，解决实际问题，形成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感受到数学公式的简洁美．

　　二、学法引导

　　1．数学方法：引导发现法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点

　　2．学生学法：观察→分析→推导→计算

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式．

　　2．难点：同重点．

　　3．疑点：把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪，自制胶片。

　　六、师生互动活动设计

　　教者投影显示推导梯形面积计算公式的.图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式．

　　七、教学步骤

　　（一）创设情景，复习引入

　　师：同学们已经知道，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们已经学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏．

　　在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式解决实际问题．

　　板书：公式

　　师：小学里学过哪些面积公式？

　　板书：S=ah

　　（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式

　　【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。

数学教案：完全平方公式4

　　教学目标

　　1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

　　2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。

　　3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．

　　4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

　　教学重点和难点

　　重点：运用完全平方式分解因式。

　　难点：灵活运用完全平方公式公解因式。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?

　　答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。

　　2。把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。

　　问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?

　　答：有完全平方公式。

　　请写出完全平方公式。

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。

　　这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。

　　二、新课

　　和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。

　　这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。

　　问：具备什么特征的多项是完全平方式?

　　答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的'式子就是完全平方式。

　　问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

　　答：(1)式是完全平方式。因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) 。

　　(2)不是完全平方式。因为第三部分必须是2xy。

　　(3)是完全平方式。25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) 。

　　(4)不是完全平方式。因为缺第三部分。

　　请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式为：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y。

　　例1 把25x4+10x2+1分解因式。

　　分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍。所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式。

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2。

　　例2 把1－ m+ 分解因式。

　　问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?

　　答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是 的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式。

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2。

　　解法2 先提出 ，则

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　= (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2。

　　三、课堂练习(投影)

　　1。填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2。

　　2。下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

　　项式改变为完全平方式。

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4。

　　3。把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2。

　　答案：

　　1。(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2。

　　2。(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式。

　　(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式。

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2。

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2。

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2。

　　3。(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2。

　　四、小结

　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

　　1。首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解。

　　2。在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2。

　　五、作业

　　把下列各式分解因式：

　　1。(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4。

　　2。(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4。

　　3。(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4。(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3。

　　答案：

　　1。(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2。

　　2。(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2。

　　3。(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2。

　　4。(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2。

　　课堂教学设计说明

　　1。利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。

　　2。本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法。在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点。例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法。

数学教案：完全平方公式5

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用

　　本节教材是初中数学七年级下册第一章第八节的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了整式的加、减、乘、除及平方差公式的基础上，对多项式乘法的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

　　2、学情分析

　　从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

　　从认知状况来说，学生在此之前已经学习了多项式乘法法则、平方差公式的探索过程，对“完全平方公式”已经有了初步的认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于“完全平方公式”的理解，(由于其抽象程度较高，)学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。

　　3、教学重难点

　　根据以上对教材的'地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：

　　对公式(a+b) 2=a2+2ab+b2的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述(学生自己的语言)、几何解释。

　　难点确定为：从广泛意义上理解完全平方公式的符号含义，培养学生有条理的思考和语言表达能力。

　　二、教学目标分析

　　新课标指出，教学目标应包括知识与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：

　　1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。

　　2.在探索讨论、归结总结中，培养学生语言表达能力、逻辑思维能力。

　　3.通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生积极参与对数学问题的讨论并敢于表达自己的观点。

　　三、教学方法分析

　　现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

　　另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

　　四、教学过程分析

　　新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：

　　(1)复习旧知，温故知新

　　设计意图：建构注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，是本节课深入研究的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。

　　(2)创设情境，提出问题

　　设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望‘

　　通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节———

　　(3)发现问题，探求新知

　　设计意图：现代数学教学论指出，的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳。

　　(4)分析思考，加深理解

　　设计意图：数学教学论指出，数学概念(定理等)要明确其内涵和外延(条件、结论、应用范围等)，通过对定义的几个重要方面的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。

　　通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，于是我把学生导入下一环节。

　　(5)强化训练，巩固双基

　　设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，其中例1……例2……，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。

　　(6) 小结归纳，拓展深化

　　我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验等几个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：

　　①通过本节课的学习，你学会了哪些知识；

　　②通过本节课的学习，你最大的体验是什么；

　　③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？

　　(7)布置作业，提高升华

　　以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。

　　以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。

数学教案：完全平方公式6

　　1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)

　　2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)

　　一、情境导入

　　计算：

　　(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；

　　(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.

　　由上述计算，你发现了什么结论？

　　二、合作探究

　　探究点：完全平方公式

　　【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算

　　利用完全平方公式计算：

　　(1)(5－a)2；

　　(2)(－3－4n)2；

　　(3)(－3a＋b)2.

　　解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

　　解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

　　(2)(－3－4n)2＝92＋24n＋16n2；

　　(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.

　　方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题

　　【类型二】 构造完全平方式

　　如果36x2＋(＋1)x＋252是一个完全平方式，求的值．

　　解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定的值．

　　解：∵36x2＋(＋1)x＋252＝(6x)2＋(＋1)x＋(5)2，∴(＋1)x＝±26x5，∴＋1＝±60，∴＝59或－61.

　　方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

　　【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算

　　利用完全平方公式计算：

　　(1)992; (2)1022.

　　解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．

　　解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；

　　(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.

　　方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题

　　【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值

　　若(x＋)2＝9，且(x－)2＝1.

　　(1)求1x2＋12的值；

　　(2)求(x2＋1)(2＋1)的值．

　　解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．

　　解：(1)∵(x＋)2＝9，(x－)2＝1，∴x2＋2x＋2＝9，x2－2x＋2＝1，4x＝9－1＝8，∴x＝2，∴1x2＋12＝x2＋2x22＝（x＋）2－2xx22＝9－2×222＝54；

　　(2)∵(x＋)2＝9，x＝2，∴(x2＋1)(2＋1)＝x22＋2＋x2＋1＝x22＋(x＋)2－2x＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.

　　方法总结：所求的展开式中都含有x或x＋时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

　　【类型五】 完全平方公式的几何背景

　　我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )

　　A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

　　B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2

　　C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

　　D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

　　解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.

　　方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

　　【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题

　　下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的.规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

　　(a＋b)1＝a＋b，

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

　　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

　　则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.

　　解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.

　　方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

　　三、板书设计

　　1．完全平方公式

　　两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

　　2．完全平方公式的运用

　　本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

数学教案：完全平方公式7

　　一、教材分析

　　本节内容在全书及章节的地位：《完全平方公式》是人教版数学八年级上册第十四章的内容。在此之前，学生已学习了多项式的乘法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节课通过学生合作学习，利用多项式相乘法则和图形解释而得到完全平方公式，进而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。

　　作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生渗透换元思想和数形结合思想 。

　　二、学情分析

　　学生刚学过多项式的乘法，已具备学习和运用完全平方公式的知识结构，但是由于学生初步学习乘法公式，认清公式结构并不容易，因此教学时要循序渐进。

　　三、教学目标

　　知识与技能

　　1.完全平方公式的推导及其应用。

　　2.完全平方公式的几何证明。

　　过程与方法

　　经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

　　情感态度与价值观

　　对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透。

　　四、教学重点难点

　　教学重点

　　完全平方公式的`推导过程；结构特点与公式的应用。

　　教学难点

　　完全平方公式结构特点及其应用。

　　五、教法学法

　　多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。

　　六、教学过程设计

　　师生活动

　　设计意图

　　一.复习多项式与多项式的乘法法则

　　1、多项式与多项式的乘法法则内容。

　　2、多项式与多项式的乘法练习。

　　二.讲授新课

　　完全平方公式的推导

　　1、利用多项式与多项式的乘法法则和几何法推导完全平方（和）公式

　　附：有简单的填空练习

　　2、利用多项式乘法则和换元法推导完全平方 （差）公式

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　二、总结完全平方公式的特点

　　介绍助记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍乘积放中央。

　　三、课堂练习

　　1、改错练习

　　2、例题讲解（总结利用完全平方公式计算的步骤）

　　第一步选择公式，明确是哪两项和（或差）的平方；

　　第二步准确代入公式；

　　第三步化简。

　　计算练习

　　（１）课本110页第一题

　　（２） （x-6）2 （ｙ－５）２

　　四、课堂小结：

　　1、应用完全平方公式应注意什么？

　　在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘以2。

　　2、助记口诀

　　复习多项式与多项式的乘法法则为新课的学习做准备。

　　利用不同的的方法来推导完全平方公式，让学生认知数学中的不同解题方法。

　　利用助记口诀帮助学生更加准确的掌握完全平方公式的特点。

　　通过课堂练习，使学生掌握用完全平方公式计算的步骤，加强学生解题的准确率。

　　强调应用完全平方公式解题的注意点和助记口诀，提高学生解决问题的能力和解题的准确率。

数学教案：完全平方公式8

　　一、教材分析

　　完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。

　　本节课是继乘法公式的内容的一种升华，起着承上启下的作用。在内容上是由多项式乘多项式而得到的，同时又为下一节课打下了基础，环环相扣，层层递进。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会到从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。

　　二、学情分析

　　多数学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难。所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出完全平方公式的探索过程，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力、合作交流能力和数学化能力。

　　三、教学目标

　　知识与技能

　　利用添括号法则灵活应用乘法公式。

　　过程与方法

　　利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的'逆向思维能力。

　　情感态度与价值观

　　鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。

　　四、教学重点难点

　　教学重点

　　理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用。

　　教学难点

　　在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的。

　　五、教学方法

　　思考分析、归纳总结、练习、应用拓展等环节。

　　六、教学过程设计

　　师生活动

　　设计意图

　　一．提出问题，创设情境

　　请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．

　　（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）去括号法则：

　　去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．

　　也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．

　　二、探究新知

　　把上述四个等式的左右两边反过来，又会得到什么结果呢？

　　（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）

　　（3）a+b+c =a+（b+c）（4）a-b+c=a-（b-c）

　　左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？

　　（学生分组讨论，最后总结）

　　添括号法则是：

　　添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的。各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

　　也是：遇“加”不变，遇“减”都变．

　　请同学们利用添括号法则完成下列练习：

　　1．在等号右边的括号内填上适当的项：

　　（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）

　　（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）

　　判断下列运算是否正确．

　　（1）2a-b-=2a-（b-）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

　　（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

　　总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．

　　三、新知运用

　　有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．

　　例：运用乘法公式计算

　　（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2

　　（3）（x+3）2-x2（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

　　四．随堂练习：

　　1.课本P111练习

　　2.《学案》101页——巩固训练

　　五、课堂小结：

　　通过本节课的学习，你有何收获和体会？

　　我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．

　　我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．

　　六、检测作业

　　习题14.2：必做题：3 、4 、5题

　　选做题：7题

　　知识梳理，教学导入，激发学生的学习热情

　　交流合作，探究新知，以问题驱动，层层深入。

　　归纳总结，提升课堂效果。

　　作业检测，检测目标的达成情况。

数学教案：完全平方公式9

　　一、教材分析：

　　（一）教材的地位与作用

　　本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几方面：

　　（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

　　（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。

　　（3）公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。

　　（二）教学目标的确定

　　在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下：

　　1、知识目标：

　　理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。

　　2、能力目标：

　　渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。

　　3、情感目标：

　　培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。

　　（三）教学重点与难点

　　完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：

　　本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

　　本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的'和（差）的平方。

　　二、教学方法与手段

　　（一）教学方法：

　　针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。

　　采用小组讨论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。

　　（二）教学手段：

　　利用投影仪辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。

　　（三）学法指导：

　　在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。

　　三、教材处理

　　根据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。关于两数差的平方公式，我将为学生提供三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进行，再通过分层次练习，加以巩固。

　　四、教学程序

　　教学过程

数学教案：完全平方公式10

　　教学目标

　　1．了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题；

　　2．初步培养学生观察、分析及概括的能力；

　　3．通过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。

　　教学建议

　　一、教学重点、难点

　　重点：通过具体例子了解公式、应用公式．

　　难点：从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。

　　二、重点、难点分析

　　人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，可以借助运算推导出来；有的公式，则可以通过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。

　　三、知识结构

　　本节一开始首先概述了一些常见的公式，接着三道例题循序渐进的'讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。

　　四、教法建议

　　1．对于给定的可以直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，达到对公式的灵活应用。

　　2．在教学过程中，应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套，这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，通过分析和具体运算推导新公式。

　　3．在解决实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

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