九年级数学《垂直于弦的直径》教案
教学目标
【知识与技能】：
(1)使学生理解圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性；
(2)掌握垂直于弦的直径的性质；
(3)初步应用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
【过程与方法】：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察、分析、归纳问题和解决问题的能力。
【情感态度】：
1、经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维；
2、通过圆的对称性，渗透对学生的美育教育，并激发学生对数学的热爱；
3、通过对定理的推导，培养学生团结合作和敢于猜想勇于探索的科研精神；
4、通过对赵州桥历史的了解，感受数学在生活中的运用。
【教学重点】：垂直于弦的直径的性质及其应用。
【教学难点】：
1、垂径定理的证明，因为叠合法证题对于学生比较陌生；
2、垂径定理的题设与结论的`区分，由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏。
【教学关键】：是圆的轴对称性的理解。
教学过程
（一）、创设情境，聚焦课题
1、复习回顾
（1）、圆、弦、弧的有关概念
（2）、什么是轴对称图形？
（3）、我们学过哪些轴对称图形？
2、问题情境导入，由求解赵州桥主桥拱的半径引入课题
【教学说明】复习旧知为新课做准备；赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.
（二）主导进程，主体发现：
1.圆的轴对称性
问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理探究
问题2 请同学们完成下列问题：
如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为M.
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.
【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.
（三）.整合探究，新知生成
3、垂径定理及其推论
问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？
【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.
问（2）已知直径CD，弦AB且AM=BM（点M在AB上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）
提示：分M点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：AB是直径或AB是除直径外的弦来讨论.
结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？
【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.
4、垂径定理三角形
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
（四）.组织体验，展示分享
.利用垂径定理及推论解决实际问题
1、下列图形是否具备垂径定理的条件？
2、 在⊙O中，弦AB的长为8c，圆心O到AB的距离为3c，求⊙O的半径．
3、你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?
【教学说明】让学生当堂完成，第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固，第3题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题。教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系.
（五）.综合设计，实践修炼
1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形
2、垂径定理的推论2
3、课堂小结：请学生归纳本节课所学到的知识，展示。
【教学说明】教师应让学生交流总结，然后补充说明，强调定理及其推论的应用.
4、 课后作业：状元导练本节习题
教后反思：
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