周期函数的判定方法

周期函数的判定方法

　罗建宇

　江苏省张家港市暨阳高级中学    215600

周期性是函数的一个重要性质，近年高考对这一性质的考查加大了检测力度，本文给出一些常用的判断（识别）函数周期性的方法，供读者参考．

一、 定义法

若存在非零常数 使 对于 的定义域内的任意 都成立，则 是周期函数，且非零常数 是 的一个周期．

二、 直观法

若函数图象可由某一段重复平移而衔接得到，则该函数是周期函数，且这一段图象两端点的横坐标之差是这个函数一个周期．

三、 公式法

若 是最小正周期为 的周期函数，则 （其中 都是常数）是以 为最小正周期的周期函数．

四、 双轴法

若两条平行直线 都是函数 图象的对称轴，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．

证：由 是函数 图象的对称轴，得： 

又 也是函数 图象的对称轴，

所以， 

故 

因此 是周期函数，且 是它的一个正周期．

推论：图象关于直线 对称的偶函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．

五、 两点法

若点 ，  都是函数 图象的对称中心，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．

证：由点 是函数 图象的对称中心，得：

又点 是函数 图象的对称中心，得：

两式相减得： 

因此 是周期函数，且 是它的一个正周期．

推论：图象关于点  对称的奇函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．

六、点轴法

若直线 和点  分别是函数 图象的对称轴和对称中心，则 是周期函数，且 是它的一个正周期．

证：由 是函数 图象的对称轴，得：

又 是函数 图象的对称中心，得：

故 

两式相减整理得： 

所以 是周期函数，且 是它的一个正周期．

推论1图象关于  对称的奇函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．

推论2图象关于点  对称的偶函数必是周期函数，且 是它的一个正周期．

注释：

[1]另外，若函数满足以下常见的函数方程之一，也可判定其为周期函数．即：

(1)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的一个周期；

(2)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的一个周期；

(3)对任意一个实数 ，都有 ，则函数 是周期函数，且 是它的一个周期．

[2]周期性的证明应严格按照周期函数的定义证明，在理解函数周期性时可结合图象从数形结合的角度直观的观察，即方法二；

[3]函数周期性出现在三角函数一章中，故方法三常用做计算函数的最小正周期，尤其是三角函数的最小正周期；

[4]后三种方法及推论便于判断一些特殊函数和抽象函数的周期性，反映了一般的抽象函数若同时具有奇偶性和对称性或对称性（两个对称关系），则函数具有周期性，可结合方法二加以理解．

例1(04年全国高考17题)求函数 的最小正周期、最大值和最小值．

解析：  

所以函数的最小正周期为 ，最大值是 ，最小值是 ．

例2(01年全国高考22题第(2)问)设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数．

证明：∵ 关于直线 对称

∴ ， 

又 是偶函数知 ， 

∴ 

上式中以 代 ，得 ， 

这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期．