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《等差数列前n项和的公式》教案
作为一名教师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。教案应该怎么写才好呢？以下是小编为大家收集的《等差数列前n项和的公式》教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
教学目标
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）在探索和发现公式的过程中，培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力，并促进知识的生成与发展。
（2）通过巧妙的思维策略，引导学生根据观察、尝试、分析和类比等实践活动，从特殊情况逐步推导出一般规律，以培养他们的类比思维能力。这样的过程能帮助学生自主发现等差数列的求和公式，并更好地理解其背后的数学原理。
（3）通过多角度、多侧面的分析公式，可以培养学生灵活思维，并提升他们分析和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
（3）通过引入生动的、具体的现实问题，探索数学史中那些引人入胜的故事，激发学生对于探究数学的兴趣和渴望，培养他们追求真理的勇气和自信心，巩固学生在学习数学过程中的积极心理经验，培养他们对数学的热爱情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：经过几节课的学习，我们已经了解了等差数列的定义、通项公式以及相关性质。今天我们将进一步研究等差数列的前n项和公式。提到数列求和，就会自然想到德国著名数学家高斯的“神速求和”故事。当时小高斯上小学四年级，一次老师布置了一个数学习题：“将1到100的自然数相加，结果是多少？”只有10岁的小高斯稍作思考就得出了答案5050，这让老师非常吃惊。那么高斯是如何巧妙计算出来的呢？如果你们能理解他那种巧妙的计算方法，那么你们就是二十一世纪的新高斯。（老师观察学生表情后，将问题缩小为十分之一）。现在我们来看一个例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？
生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
二、教授新课（尝试推导）
师：已知等差数列的第一项为a1，项数为n，最后一项为an。根据等差数列的性质，我们可以推导出它的前n项和Sn的计算公式。首先，我们知道等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，d为等差数列的公差。接下来，我们将等差数列的所有项按照相反的顺序排列，并将原数列与反向数列相加，得到一个新的等差数列，每一项都是a1+an。例如，对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，与之对应的反向数列为an, an-1, ..., a1。将两个数列按位相加，得到新的等差数列2a1+d, 2a2+d, 2a3+d, ..., 2an+d。将两个数列的每一项分别相加，得到：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2(a1+a2+a3+...+an) + nd由于等差数列的前n项和Sn表示为a1+a2+a3+...+an，所以我们可以将上述等式改写为：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2Sn + nd进一步整理得：2Sn + nd = n(2a1 + (n-1)d)化简可得：Sn = n/2 * (a1+an)因此，等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = n/2 * (a1+an)。感谢同学们的参与，现在请一位同学来板演推导过程。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）这两个式子可以被称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以观察到它与梯形面积公式（上底下底）×高÷2相似。在这里，等差数列中的首项a1代表了梯形的上底，第n项an代表了梯形的下底，而项数n则代表了梯形的高。通过这种类比，我们可以引导学生进行总结：这些公式中涉及了几个量？（a1，d，n，an，Sn），它们之间有哪些关系？［an=a1(n-1)d，Sn=na1d］；另外，这些量中有几个是可以自由变化的？（三个）从而可以得知：只要我们知道其中任意三个量，就可以求解出其他两个量。接下来，我们将举一些例子来说明公式（I）和（II）的一些应用。请您谢谢！
三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。
1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
（3）2+4+6+......+2n
（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。
生5：直接利用等差数列求和公式（I），得
（1）1+2+3+......+n=
（2）1+3+5+......+(2n-1)=
（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)
师：第（4）小题数列共有n项。该数列是否为等差数列需要根据给出的信息进行判断，而在题目中并没有给出具体的数列项或规律，所以无法确定它是否为等差数列。不能直接运用Sn公式求解，因为Sn公式是用来求解等差数列前n项和的公式，需要知道数列的首项、末项和项数才能使用该公式计算。如果无法确定数列是否为等差数列，可以尝试找出数列的通项公式，然后根据题目给出的条件计算出具体的数列项。如果无法找到通项公式，可以逐项计算数列的项。
生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以
原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：非常好！在解题时我们应该仔细观察，并寻找规律，通常能够找到更好的方法。此外，在运用Sn公式时需要注意确切地确定等差数列的项数，否则很可能会得出错误的答案。
例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145
师：通过以上示例题，我们学习了等差数列的前n项和公式。该公式中包含了5个变量。当已知其中三个变量时，我们可以利用构建方程或方程组的方法来求解另外两个未知变量（即已知三求二）。请同学们根据第三个例题自行编写类似的练习题，作为本课外练习的内容。在下节课时，我们将进行交流和讨论。
师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）
①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②是否一定非得求得a1，d呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求S10的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教师启发学生解）
师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？
生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
师：是的！这个问题需要应用等差数列的性质来解决。根据已知的等式，我们无法直接求出a1，a16和d的值。但是我们可以利用等差数列的性质来计算出a1与an（第16项）的和。这种思路充分展示了解决数学问题时的整体思维能力。
师：由于时间有限，我们将对等差数列前n项和公式Sn进行深入分析，并引导学生通过观察发现当d≠0时，Sn可以表示为n的二次函数。然后，我们会从二次（或一次）函数的角度来解释Sn公式的意义，指引同学们在课外继续思考这个问题。
最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=。数列{an}是否为等差数列，并说明理由。
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。
生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求解等差数列的首项a1和公差d时，我们需要仔细观察，并灵活运用等差数列的性质，尝试使用整体思维的方法来求解数列的第n项an。
师：通过以上几个例子，我们可以看到在解题过程中灵活运用所学知识和性质的重要性。同时，我们也应该纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。在学习过程中，希望大家能够成为一个有心人，积极主动地去发现更多的性质，并努力学习掌握它们。
本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业：P49：13、14、15、17
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