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精品教案及配套反思--反证法
4.4反证法 陈建华 【知识目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明简单命题． 4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”. 【能力目标】1、通过反证法的教学让学生体验、感受正难则反的思维策略 2、反证法需要学生有一定的分析能力和逻辑思维能力，通过反证法教学培养学生分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力 【情感目标】通过路边苦李等实际问题让学生感受数学就在身边，学数学能解决生活中的问题 【教学重点和难点】 重点：反证法的含义和步骤. 难点：（1）课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度； （2）如何寻找至多，至少等问题的反面是本节课第二个难点 【教学过程】 一、情境导入 故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 提出假设:李子不苦，即李子是甜的 推理论证:长在大路边的李子会被过路人摘去解渴,树上的李子不可能这么多 得出矛盾：这与事实矛盾 结论成立：假设是错误的，李子是苦的 像这样的证法就是本节课要学习的《反证法》（板书课题） 反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反证法呢？ 二、探究新知 （一）引例感知 已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1 ≠ ∠2 求证：a∥b 提出假设: 证明：假设结论不成立，则a∥b 推理论证: ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 得出矛盾： 这与已知的∠1≠∠2矛盾 结论成立： ∴假设不成立，∴a∥b （二）归纳定义 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了． 你能说出下列结论的反面吗? 1.a⊥b。 2. d是正数 3. a≥0 4. a∥b 5. l3与l2相交. （三）步骤归纳 1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 假设____________,即_________. ∵_________（已知）, ∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行, 这与“_______________________ _____________”矛盾. ∴假设不成立,即求证的命题正确. ∴l3与l2相交. 教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法. 2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤．（教师板书步骤） 生：①提出假设: 假定结论不成立（即结论的反面成立）；推理论证: ②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，③得出矛盾：推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾； ④结论成立：由矛盾判定假设不正确，肯定命题的结论成立．明确用反证法证题的基本思路及步骤． （四）学以致用，完善新知 1、课内练习1 明确在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达． 2、合作学习 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. （1）你首选的是哪一种方法？ （2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ （3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？ 要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制定计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程);回顾(比较两种证明方法的特点) 教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路， 本题的结论平行传递性是判定两直线平行的又一判定定理.（几何语言表示） 三、实践应用，知识迁移 1、用反证法证明:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即 ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与________________________________相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 2、如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 当∠B是_____时，则_____________，这与____________________________矛盾 当∠B是_____时，则______________，这与____________________________矛盾 所以假设不成立∴∠B一定是锐角. 3证明命题:三角形中至多有一个角是钝角. 分析：“至多一个角是钝角”是指一个钝角或没有一个钝角，它的反面是两个钝角或三个钝角，故指“至少两个角是钝角” 注意：用反证法证题时, （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程中要充分使用已知条件，推理过程必须完整，否则推不出矛盾 四、总结回顾 1、小结： （1）反证法的概念; （2）反证法的一般步骤 （3）两个定理 2、反证法的应用：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法． 五、课后作业 1.配套作业本A(1)组必做。 2.书本作业题． 3.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流。 【板书设计】 屏幕 4.4反证法 1、反证法的定义 2、步骤： 合作学习 ①提出假设 ②推理论证 ③得出矛盾 学生练习 ④结论成立 3、定理 配套反思 如何寻找至多，至少等问题的反面，如何在证明过程中进行归谬都是学生感到困难的地方，这取决于学生的分析能力、逻辑思维能力和对已学定理的熟悉程度，对学生的能力是个挑战。 解决策略： 1、寻找问题反面时要引导学生学会分析“至多一个角是钝角”是指一个钝角或没有一个钝角，它的反面是两个钝角或三个钝角，故指“至少两个角是钝角” 至少有一个角大于或等于60的反面是一个角都没有大于或等于60。 2、在具体的示范中教会学生如何去归谬 3、对于学生易出现的纰漏教师要给予点拨和引导。如用反证法证题时（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程中要充分使用已知条件，推理过程必须完整，否则推不出矛盾 配套练习： 1、用反证法证明:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立，即 ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与________________________________相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 2、如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 当∠B是_____时，则_____________，这与____________________________矛盾 当∠B是_____时，则______________，这与____________________________矛盾 所以假设不成立∴∠B一定是锐角. 3证明命题:三角形中至多有一个角是钝角. 分析：“至多一个角是钝角”是指一个钝角或没有一个钝角，它的反面是两个钝角或三个钝角，故指“至少两个角是钝角” 证明略【教案及配套反思--反证法】相关文章：
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