实数 教案

实数 教案

实数  教案 （一）教学目标 1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。 2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法 3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点 （二）教材分析 “实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。由 、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。 重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。 难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。 （三）学生分析 学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。对 的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。 （四）设计理念 让学生主动参与合作交流， 探索、发现，注重知识形成的过程 （五）教学方法 启发式、探索式教学 （六）教学过程 1 复习旧知，揭示矛盾，引入概念 回顾书本 3 .1探究活动（图3.2），复习前面所学的有理数的分类， 既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说 不是有理数，但由此题可知 确实是存在的，同时π也是如此。 出现矛盾以后，本课以 为例，从 开始，来探索无理数的特征，学习实数。 1.2 联系实际创设问题情境： 如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪 米布，你将会给我剪多少比较合适？ 学生能从上节的图3-2中估计 在1与2之间 引导学生借助计算器进行合作学习： （1） 根据上节课 1＜ ＜2，确定√2=1.… （2） 确定小数点后第一位数 计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52 1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了 很明显1.4＜ ＜1.5 。 也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜ ＜1.5。 根据以上得： =1.4… （3） 再求下一位 计算1.412 1.422 等  =1.41… 到此为止，能解决上面问题， 大约剪1.4 米 或1.41米就可以了。 1.3 继续探索 特征，得到无理数概念 以上得到的1.4，1.41仅是 的近似值， 究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p71的表格，探索 特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道 确实不同于前面所学的有理数，总结 的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。 （以上学生合作探索 特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法。） 1.4举例说出无理数，巩固对无理数的理解 1.5 课本p73 课内练习2 掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法 2 叙述数史，剖析概念，扩展数集 2.1 讲述故事，介绍无理数的来历 师问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？ 有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”。 师：确实会有我们这种想法，这不，为此，它们还发动了战争呢？（屏幕显示故事，学生讲述） 《有理数和无理数之战》 　　 在一个早晨，同学小毅一觉醒来，发现窗户外的山坡上在打仗。仔细一看，一边打着“有理数”的大旗子，一边打着“无理数”的大旗子。 　　有理数和无理数为什么要打仗？哦，原来是为了名字。 　　听听无理数司令π怎么说：“我们无理数和有理数同样是数，为什么他们‘有理’，我们‘无理’？我们究竟哪点儿无理？” 　　对呀！无理怎么会存在嘛！小毅心里也在琢磨。 “因为人们最开始发现的是有理数，见到我们无理数时还不理解，所以取了‘无理数’这么难听的名字。可是现在，人们已经充分认识我们了，就该给我们摘掉‘无理’的帽子才对！” （教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神） 问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论） 教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点。 2.2实数的概念： 有理数和无理数统称为实数 （通过故事不仅增加趣味性，更重要的在于强化无理数与有理数的本质区别，得实数的意义。而且介绍数学史，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用） 5.1 3练习讨论，反馈调整，巩固概念 （1）无理数的相反数、绝对值 由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。 （2） 练习：在 1/7; －π； ；0；0.3 ； ；－ ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中 ①属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： ②说出以上各数的相反数、绝对值； 练习：（抢答）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 ①无限小数都是无理数； ②无理数都是无限小数； ③带根号的数都是无理数； ④有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥实数的绝对值都是非负实数； ⑦有理数都可以表示成分数的形式。 （通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。） 3 数形结合，突破难点，深化概念 （前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数，接下来我们再利用数轴来进行说明。） 我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，那么数轴上的每一个点都表示有理数吗？（思考） 由书本图3.2可知，在数轴正方向上取OA的长等于图3.2中阴影正方形的边长，则点A表示 ，即无理数 可以在数轴上找到对应点。可见，数轴上的点对应的数，不都是有理数。（显示数轴） 像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样，每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点，因此，可以说，每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。（想一想：为什么？）反过来，数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数，也就是说，数轴上的每一点都对应一个实数。把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。 利用课件显示帮助理解以上内容，数形结合，突破本课的难点：在数轴上用绿色闪烁圆点表示有理数，但这些并不能布满直线，说明数轴上的每一个点并不都表示有理数。再用红色闪烁圆点表示无理数，讲到有理数时绿色圆点闪烁，讲到无理数时绿色圆点闪烁，讲到实数时红、绿圆点同时闪烁，这才成为一整条直线，由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数，深化了实数的概念。 5类比迁移，大小比较，例题分析 例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）： --1.4， ， 3.3， π，-- ，1.5 （1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移。比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高。 （2） 着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较 根据书本图3.2 画表示 的点的方法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况： 如；   尺规可作的无理数 π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示 6 理清关系 ，概括方法，课堂小结 6.1 是人们最早认识的无理数之一，这节课我们 从 谈起，谈到了什么？ （1）知识方面： 正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ） 有理数 { 零 } 可化为分数 实数{ 负有理数 正无理数 （无限不循环小数） 无理数 { } 负无理数 不能化为分数 实数与数轴上的点一一对应 （2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想 6.2启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维 从 谈起，我们还可以谈些什么？ 例如： 其他无理数？ 圆周率π的近似值？ 由 出发，可以造出哪些无理数？ 无理数与有理数的和、差、积等一定是无理数吗？ 无理数与无理数的和、差、积等一定是无理数吗？ 等等一系列问题，有待于我们进一步探索、研究 7 布置作业 A组必做， B、C组选做 附： 课后阅读 化循环小数为分数 （七）设计后感 本课精心设计问题情景，积极引导，启发学生进行概念剖析，从 谈起，让学生合作探究其特征 ，进而得到实数的概念，实现了数的范围的进一步扩展 ，尽量让学生亲身体验知识的形成过程，同时掌握分析、解决问题的思想和方法

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