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中学数学教案设计
一元n次方程根与系数的关系教案设计
【教学目的】通过教学让学生明确一元n次方程的根与系数的关系是一
元二次方程的根与系数关系的推广，通过证明让学生理解韦达定理的实质，
并会正确应用定理来解题。
【教学重点和难点】重点是根与系数的关系，难点是根与系数关系的
证明。
【教学过程】
一、复习提问
1.定理1及定理2的内容及作用。
定理1一元n次方程f(x)=0有一个根x=b的充要条件是多项式f(x)
有一个一次因式(x-b)。
定理2复系数一元n次方程f(x)=0在复数集中有且仅有n个根。
定理1指出寻求方程根的方法，而定理2只解决根的存在性及根的个数。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数之间有什么关系?如何
证明?
设二根为x1和x2，则根与系数间关系为：
x+x=-
b a
x x=
c a
1 2
1 2·称韦达定理。`
ì
í
证明：若x1和x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则根据定理1得到
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。∵a≠0
∴x+()，对比系数得到：
b a
x+
c a
=x-x x+x x+x xx+x=-
b 2a 2
1 21 21 2
x x=
c a
n 12·，同理对一元次方程的根与系数之间仍存在这个关系。
二、引入新课
三、小结
韦达定理中诸关系式是n个n元方程，仍无法解出各根，故与解一元n
次方程是等价问题，只有给出了各根之间满足的某些条件时，应用根与系数
的关系，才能求出方程的解集，在应用时注意符号的规律。这个定理的逆命
题也成立，即对于任何一元n次方程f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0=0如果
有n个数x1，x2，?，xn满足诸关系式，那么x1，x2，?，xn一定是方程f
(x)=0的根。
四、作业
(王秋芳)
韦达定理的应用教案设计
【教学目的】让学生进一步理解韦达定理的实质是反映出由n个根与系
数构成了n个n元方程组，与解一元n次方程是完全等价的问题。因而只利
用根与系数之关系并不能解决一元n次方程求根的问题。只有当给出了各根
之间满足的某些条件时才能应用韦选定理求方程的解集。
【教学重点和难点】重点是韦达定理的应用，难点是灵活应用韦达定
理解综合性题。
【教学过程】
一、复习提问
1.韦达定理及其作用。
2.已知方程x3+p1x2+p2x+p3=0，的根为α、β、γ，则由韦达定理，得
αβγ()
αβαγβγ()
αβγ()
++=-p 1
++=p 2
=-p 3
2 3
ì
í
下面解含α、β、γ的方程组，结果说明什么问题?
解：(1)×α2得α3+α2β+α2γ=-p1α2(4)
(2)×(-α)得-α2β-αβγ-α2γ=-αp2(5)
(3)+(4)+(5)得α3+p1α2+p2α+p3=0这个结果与原方程完全相同，
说明如果我们没有办法解出原方程时，同样从这三个根与系数的关系仍不能
解出它的根来，只有当给出各根之间具有某种特殊关系时，应用根与系数之
关系才能求出方程的根。
二、引入新课--韦达定理的应用
三、小结
1.已知方程的根与系数具有某种关系时应用韦达定理转化为解方程组的
问题求解，当未知数的个数少于方程组中方程个数时，要适当选择方程组求
解，之后必须通过检验该解满足余下的方程才是原方程的解。
2.应用韦达定理确定方程中的参数。
四、作业(略)
(王秋芳)
实系数方程虚根成对定理教案设计
【教学目的】掌握实系数方程虚根成对定理并会运用定理求实系数方程
在复数集C中的解集。
【教学重点和难点】重点是定理的正确应用：突出强调定理中的条件
是实系数方程；难点是定理的证明过程。
【教学过程】
一、复习提问
二、引入新课
三、小结
注意定理中的条件"实系数方程"必不可少，若为复系数方程则没有"虚
根成对共轭出现"的结论，应用此定理解方程时要特别注意。
四、作业
1.复习实系数方程虚根成对定理。
2.求证实系数一元n次方程在n为奇数时有奇数个实根；在n为偶数时
有偶数个实根，或者没有实根。[提示：应用实系数一元n次方程有且仅有n
个复数根，而且虚根是成对出现，说明虚根只能是偶数个(包括0个)，所
以当n为奇数时，由于奇数与偶数之差为奇数，从而有奇数个实根。当n为
偶数时，由于偶数与偶数之差仍为偶数，从而有偶数个实根(包括没有实数
根)]
3.根据已知条件求下列方程在复数集C中解集。
(王秋芳)
复习总结二项式定理教案设计
【教学目的】
1.小结二项式定理，二项式系数的性质及它们的应用。
2.指导学生对本节的基本概念和基本公式进行总结和深化。
3.指导学生对本节的基本题型进行总结，提高解题能力。
【教学重点】有关重点概念和应用。
【教学过程】
一、复习总结有关概念
(可采取提问的方式)
(1)什么叫二项式定理，定理的实际含义是什么，公式的条件是什么。
(2)二项式的展开式的规律是什么?
(3)两个重要常见的二项式的展开式是什么?
(4)下列二项式的展开式相同吗?它们的通项相同吗?
二、有关二项式定理的题型总结
(可采取提问)
(1)二项式定理的应用：
答：结合本节习题和补充题：可总结为它能解决下类题型：
①求展开式，
②近似计算，
③证明有关的整除问题，
④证明恒等式，
⑤证明有关的不等式。
(2)通项公式的应用：
答：它能解决下类题型：
①求展开式的某项，
②求含xr的项(当r=0时为常数项)，
③根据某种条件先求n或r；再求符合条件的某种项。
(3)二项式系数的性质的应用：
答：它能解决下类题型：
①有关中间项，及二项式系数最大的项的问题，
②有关组合等式的证明。
复习结束后，布置下面一组题作为本节的检查题：
(王锡泽)
平行直线教案设计
【教学目的】
1.使学生掌握空间两条直线平行的判定及其应用。
2.使学生掌握平行线的性质及应用。
【教学重点和难点】教学重点是空间二直线平行的判定和性质。
难点是二直线平行的判定和性质的应用。
【教学过程】
一、新课引入
通过上一节课的学习，我们已经知道：在图1-26所示的正方体A1B1C1D1 ABCD中，AB∥C1D1，A1C和BD1相交。
但对这些结论的正确性没有给出证明。这节课就来解决这个问题。
二、新课
请学生阅读课本上的平行线公理"平行于同一直线的两条直线互相平
行。"的有关叙述，并思考思考题(Ⅰ)：
1.给出图1-26中AB∥C1D1和A1C和BD1相交的证明。
2.把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1-27所示，那么折痕间是
怎样的位置关系?为什么?
3.已知：四边形ABCD是空间四边形(四个顶点不共面的四边形，E、H
分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且。求证：四边形
EFGH是梯形。
阅读思考后，请一位学生板演
第3题。其他学生在读议小组内议论思考题(Ⅰ)并对板演作评论。议
论后全班进行交流。在这基础上教师作补充讲评：
1.平行线公理描述了平行线之间的传递性，即若a∥b，b∥c，则有a∥c。
这种传递性不受线段数目的限制，可以进行多次传递。
2.判断两条直线平行的基本方法是寻找分别与这两条直线平行的第三条
直线，再利用平行线的传递性就能证得这两直线平行。例如：
又如思考题(Ⅰ)的第2题，由于每个矩形对边是平行的，所以由平行
线的传递性可得知各折痕是平行。
3.画空间四边形时，一般可先画一个三角形BCD，再在△BCD外取一点A，
然后连接AB、AD即得，如图1-28所示。事实上，空间四边形也可看成是由
不在同一平面的两个三角形拼成的。
思考题(Ⅰ)的第3题的图可画成图1-28，在△ABD中由中位线定理得
EH∥BD；又在△CBD中，由平行线截比例线段定理的逆定理得FG∥BD。再由
平行线的传递性得EH∥FG，所以EFGH是梯形。
下面再来讨论平行线的性质。让学生阅读课本上等角定理(即如果一个
角的两边和另一角的两边分边平行并且方向相同，那么这两个角相等)的论
证和推论。
阅读要求是：
(1)理解定理条件、结论，学会定理证明方法。
(2)会应用该定理。为此，阅读时思考思考题(Ⅱ)：
1.已知：AA'、BB'、CC'不共面，且BB'AA'，CC'AA'(如图129所示)，求证△ABC≌△A'B'C'
2.在长方体A1B1C1D1ABCD中
(图1-30)，求证∠D1AC=∠BC1A1。
阅读思考后请两位学生上黑板板演，其他学生在读议小组中议论思考题
并对板演的论证过程和书写进行评论。教师可根据学生的议论和板演进行纠
正和补充讲解：
1.等角定理条件中所提及的方向是指以角顶为出发点而言的。
如图1-31中，AC和A'C'是方向相同的，它们的方向都是以角顶为出
发点向右方。
而A'C'和AD就是反方向了，因为A'C'是由角顶出发向右，而AD
是由角顶出发向左。
把等角定理中的条件改成："角的两边分别平行并且方向相反"，那么
定理结论仍成立。
应用它能证明思考题(Ⅱ)的第2题：
因为AB∥A1B1∥=C1D1，所以，ABC1D1是平行四边形，故AD1∥BC1。
同理可证得AC∥A1C1。
由等角定理得∠D1AC=∠BC1A1。
如果把等角定理中的条件改为："角的两边分别平行并且一组边方向相
同而另一组边方向相反"，则结论将为："两角相补"。这是由等角定理直
接可推得的(见图1-31)。
由于上述分析和角的两边可反向延长的特点可得到等角定理的推论：如
果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或
直角)相等。
2.等角定理的证明
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