三角形、四边形知识点总结

时间：2023-07-25 17:30:19 蔼媚总结我要投稿

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三角形、四边形知识点总结

　　总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，它可以明确下一步的工作方向，少走弯路，少犯错误，提高工作效益，因此好好准备一份总结吧。但是却发现不知道该写些什么，下面是小编为大家整理的三角形、四边形知识点总结，希望对大家有所帮助。

三角形、四边形知识点总结

　　三角形、四边形知识点总结 1

　　四边形

　　1.四边形的内角和与外角和定理：

　　（1）四边形的内角和等于360°；

　　（2）四边形的外角和等于360°.

　　2.多边形的内角和与外角和定理：

　　（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；

　　（2）任意多边形的外角和等于360°.

　　3.平行四边形的性质：

　　（1）两组对边分别平行；

　　（2）两组对边分别相等；

　　（3）两组对角分别相等；

　　（4）对角线互相平分；

　　（5）邻角互补.

　　4.平行四边形的判定：

　　（1）两组对边分别平行

　　（2）两组对边分别相等

　　（3）两组对角分别相等

　　（4）一组对边平行且相等

　　（5）对角线互相平分

　　5.矩形的性质：具有平行四边形的所有通性；

　　（1）因为ABCD是矩形

　　（2）四个角都是直角；

　　（3）对角线相等.

　　6.矩形的判定：

　　（1）平行四边形一个直角

　　（2）三个角都是直角

　　（3）对角线相等的

　　7.菱形的性质：

　　（1）因为ABCD是菱形具有平行四边形的所有通性；

　　（2）四个边都相等；

　　（3）对角线垂直且平分对角.

　　8.菱形的判定：

　　（1）平行四边形一组邻边等

　　（2）四个边都相等

　　（3）对角线垂直的平行四边形

　　9.正方形的性质：

　　（1）因为ABCD是正方形具有平行四边形的所有通性；

　　（2）四个边都相等，四个角都是直角；

　　（3）对角线相等垂直且平分对角.

　　10.正方形的判定：

　　（1）平行四边形一组邻边等一个直角

　　（2）菱形一个直角四边形ABCD是正方形

　　（3）矩形一组邻边等

　　11.等腰梯形的性质：

　　（1）两底平行，两腰相等；

　　（2）同一底上的底角相等；

　　（3）对角线相等.

　　12.等腰梯形的判定：

　　（1）梯形底角相等

　　（2）梯形对角线相等

　　（3）梯形两腰相等

　　13.三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半。

　　14.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

　　三角形、四边形知识点总结 2

　　一、三角形的有关概念

　　1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

　　三角形的特征：

　　①不在同一直线上；

　　②三条线段；

　　③首尾顺次相接；

　　④三角形具有稳定性。

　　2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高

　　(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

　　(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

　　(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

　　说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段；

　　②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

　　二、等腰三角形的性质和判定

　　(1)性质

　　1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。

　　2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。

　　3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

　　4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

　　5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

　　6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

　　7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

　　(2)判定

　　在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

　　在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。

　　三、直角三角形和勾股定理

　　有一个角是直角的三角形是直角三角形，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半；30度所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形常用面积法求斜边上的高。

　　勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

　　勾股数一定是正整数，常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10,；7,24,25；8,15,17；9,12,15。

　　方法总结：

　　当不明确直角三角形的斜边长，应把已知最长边分为直角边和斜边两种情况讨论。无理数在数轴上的表示和线段长表示通常用到勾股定理。翻折题型常用勾股定理(口诀：翻折求边找直角，勾股定理设未知量)

　　如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理，常用于判断三角形的形状，先确定最大边(可以设为c)。

　　四、初中三角形中线定理

　　中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

　　定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

　　中线的定义：任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

　　由定义可知，三角形的中线是一条线段。

　　由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

　　且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

　　每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

　　五、直角三角形的判定

　　判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

　　判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

　　判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

　　判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

　　判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

　　判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

　　判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

　　六、勾股定理的逆定理

　　如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

　　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

　　②定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.

　　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

　　七、三角形定理公式

　　三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

　　三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

　　三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和。

　　三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

　　三角形的三条角平分线交于一点(内心)。

　　三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。

　　三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

　　三角形、四边形知识点总结 3

　　1.三角形的定义

　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

　　三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

　　2.三角形的表示

　　三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

　　注意：

　　(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

　　(2)三角形是一个封闭的图形；

　　(3)△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

　　3.三角形的主要线段的定义

　　(1)三角形的中线(在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线)

　　三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。

　　表示法：①AD是△ABC的BC上的中线.

　　②BD=DC=1/2 BC

　　注意：①三角形的中线是线段；

　　②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃)

　　③中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

　　(2)三角形的角平分线

　　三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

　　表示法：①AD是△ABC的∠BAC的平分线.

　　②∠1=∠2=∠BAC.

　　注意：①三角形的角平分线是线段；

　　②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；(注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等)

　　③用量角器画三角形的角平分线。

　　(3)三角形的高

　　从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.

　　表示法：①AD是△ABC的BC上的高线

　　②AD⊥BC于D

　　③∠ADB=∠ADC=90°.

　　注意：①三角形的高是线段；

　　②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点.这点叫垂心)

　　③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)

　　4.三角形的角与角之间的关系

　　(1)三角形三个内角的和等于180°；

　　(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

　　(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

　　(4)直角三角形的两个锐角互余.

　　三角形、四边形知识点总结 4

　　一、特殊的平行四边形：

　　1.矩形：

　　（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。

　　（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

　　（3）判定定理：

　　①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

　　②对角线相等的平行四边形是矩形。

　　③有三个角是直角的四边形是矩形。

　　直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。

　　2.菱形：

　　（1）定义：邻边相等的平行四边形。

　　（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

　　（3）判定定理：

　　①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　　②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　③四条边相等的四边形是菱形。

　　（4）面积：

　　3.正方形：

　　（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

　　（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。正方形既是矩形，又是菱形。

　　（3）正方形判定定理：

　　①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

　　②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；

　　③对角线互相垂直的矩形是正方形；

　　④邻边相等的矩形是正方形

　　⑤有一个角是直角的菱形是正方形；

　　⑥对角线相等的菱形是正方形。

　　二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：

　　1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。

　　2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。

　　三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

　　常见考法

　　（1）利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；

　　（2）灵活运用判定定理证明一个四边形（或平行四边形）是菱形、矩形、正方形；

　　（3）一些折叠问题；

　　（4）矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。

　　误区提醒

　　（1）平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆；

　　（2）矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆；

　　（3）不能正确的理解和运用判定定理进行证明，（如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形）；

　　（4）再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘；