行阶梯形矩阵方法总结
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行阶梯形矩阵,Row—Echelon Form,是指线性代数中的矩阵。
阶梯形矩阵
如果:
所有非零行(矩阵的行至少有一个非零元素)在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
非零行的首项系数(leading coefficient),也称作主元,即最左边的首个非零元素(某些地方要求首项系数必须为1),严格地比上面行的首项系数更靠右。
首项系数所在列,在该首项系数下面的元素都是零(前两条的.推论)。
这个矩阵是行阶梯形矩阵:
化简后的行阶梯形矩阵(reduced row echelon form),也称作行规范形矩阵(row canonical form),如果满足额外的条件:
每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:
注意,这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如,如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵:
因为第3列并不包含任何行的首项系数。
矩阵变换到行阶梯形
通过有限步的行初等变换,任何矩阵可以变换为行阶梯形。由于行初等变换保持了矩阵的行空间,因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。
行阶梯形的结果并不是唯一的。例如,行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是,可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。
一个线性方程组是行阶梯形,如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的,一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形',如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。
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